Второй тур (15 минут; каждая задача – 7 баллов).



2.1. Марья Петровна идет по дороге со скоростью 4 км/ч. Увидев пенек, она садится на него и отдыхает одно и то же целое число минут. Михаил Потапович идет по той же дороге со скоростью 5 км/ч, зато сидит на каждом пеньке в два раза дольше, чем Марья Петровна. Вышли и пришли они одновременно. Длина дороги – 11 км. Сколько на ней могло быть пеньков?

2.2. Точка D — середина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника ABC, угол ВАС равен 35°. Точка B1 симметрична точке B относительно прямой СD. Найдите угол AB1C.

2.3. Остаток от деления натурального числа Х на 26 равен неполному частному, остаток от деления Х на 29 также равен неполному частному. Найдите все такие Х.

Третий тур (20 минут; каждая задача – 8 баллов).

3.1. Известно, что Какие значения может принимать выражение ?

3.2. В выпуклом четырехугольнике ABCD: ∠DAВ = ∠AВC = 60° и ∠СAВ = ∠CBD. Докажите, что AD + CB = AB.

3.3. Петя нашел сумму всех нечетных делителей некоторого четного числа (включая 1), а Вася – сумму всех четных делителей этого же числа (включая само число). Может ли произведение двух найденных чисел быть точным квадратом?

Четвертый тур (25 минут; каждая задача – 9 баллов).

4.1. Докажите, что для положительных значений а, b и c выполняется неравенство

4.2. В треугольнике АВС проведены высота ВН, медиана ВВ1 и средняя линия А1С11 лежит на стороне ВС, С1 – на стороне АВ). Прямые А1С1 и ВВ1 пересекаются в точке М, а прямые С1В1 и А1Н – в точке N. Докажите, что прямые MN и BH параллельны.

4.3. В строку выписаны 40 знаков: 20 крестиков и 20 ноликов. За один ход можно поменять местами любые два соседних знака. За какое наименьшее количество ходов можно гарантированно добиться того, чтобы какие-то 20 стоящих подряд знаков оказались крестиками?

Источник: http://olympiads.mccme.ru/regata/

 

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/8qf9v4p7v7qs8i8/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2001%2030.09.pdf?dl=0

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 119;