Домашняя на 11 ноября: Разнобой



Задача 32. В городе Глупове каждый житель — полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры — полицейским, обыватели — ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему правому соседу: „Я — полицейский”. Сколько в этом хороводе было обывателей?

Задача 33. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз — на 2 см, в третий — на 3 см, и так далее. Докажите, что он не сможет за 2016 прыжков вернуться в начальную точку.

Задача 34. Две команды разыграли первенство по десятиборью (участвовали в 10 соревнованиях), причем за победу в каждом из видов команда получала 4 очка, за ничью — 2 очка и за проигрыш — 1 очко. Вместе обе команды набрали 46 очков. Сколько было ничьих?

Задача 35. Все натуральные числа покрасили в пять цветов. Докажите, что найдётся миллион чисел одного цвета с одинаковой суммой цифр.

Задача 36. В ряд стоят несколько тарелок, на каждой из которых лежит по одному банану. За один ход можно съесть бананы только из одной или двух соседних тарелок. Всего тарелок а) 20; б) 21. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 37. В таблице 8×8 угловая клетка покрашена чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?

Задача 38. На кольцевой автомобильной дороге стоят несколько одинаковых автомашин. Если бы весь бензин, имеющийся в этих автомашинах, слили в одну, то эта машина смогла бы проехать по всей кольцевой дороге и вернуться на прежнее место. Докажите, что хотя бы одна из этих машин может объехать всё кольцо, забирая по пути бензин у остальных машин.

Задача 39. У игроков есть шоколадка 2017x2017 долек. За ход можно взять любой из кусков, лежащих на столе, разломать его по углублению, затем либо положить оба получившихся куска на стол, либо один съесть, а второй положить на стол. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. У кого из игроков есть стратегия и как ему играть, чтобы выиграть?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/0slw4fxrskkz0n9/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2006%204.11.pdf?dl=0

Занятие 4 ноября – Игры и стратегии

Большая часть занятия была посвящена разбору домашней.

Задача. У ромашки а) 14; б) 15 число лепестков. За ход разрешается оторвать любой один или любые два соседних лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача. На столе несколько кучи камней. Играют двое. Ход состоит в том, что игрок берёт несколько камней, но только из одной кучки. Кто выиграет при правильной игре и как он должен играть, если камней:

a) 30 и 33;

b) 3, 3 и 4;

c)  m, m и k;

d)  1, 2 и 3;

e)  1, 2 и k > 3;

f)  20, 20, 20 и 20?

 

Домашняя на 4 ноября: Игры и стратегии

Во всех играх, если не указано обратного, играют два игрока; проигрывает тот, кто не может сделать ход. Нужно определить, у какого из игроков есть выигрышная стратегия (позволяющая победить, как бы ни играл противник), найти эту стратегию и доказать, что она действительно выигрышная.

Правильно описанные, но не доказанные стратегии считаются неверным решением.

Задача 25.  

a)  На столе лежат три яблока весом 200 г, 300 г и 400 г. Малыш выбирает любое яблоко, а затем яблоко берёт Карлсон. После этого они одновременно начинают есть свои яблоки (с одинаковой скоростью). Тот, кто доел яблоко, берёт следующее; каждый хочет съесть как можно больше. Какое яблоко выбрать Малышу вначале?

b)  А если есть ещё яблоко весом 450 г?

Задача 26. В ряд выписаны числа от 1 до 100. Два игрока по очереди расставляют любой из знаков "плюс","минус" или"умножить" между этими числами. Первый игрок желает, чтобы значение окончательного выражения было четным, второй – нечетным. Кто выиграет?

Задача 27. У ромашки а) 14; б) 15 число лепестков. За ход разрешается оторвать любой один или любые два соседних лепестка. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 28. Имеется шоколадка 6 на 8. За ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого куска шоколада вдоль любого из углублений. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 29. На окружности расставлено 20 точек. За ход разрешается соединить любые две из них отрезком, причем проведенные отрезки не должны пересекаться внутри окружности. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 30. Имеется три кучки камней: в первой – 10, во второй – 15, в третьей – 20. За ход разрешается разбить любую кучку, состоящую более, чем из одного камня, на две меньшие кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Задача 31. На столе две кучки шоколадных конфет: по 1001 и 2013 штук соответственно. Играют двое: за каждый ход можно съесть от 1 до 6 конфет, но только из одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/o40qn94qnf54zpf/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2005%2028.10.pdf?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 95;