Домашняя на 25 ноября: Разнобой



Задача 48. 56a = 65b. Докажите, что a + b — составное.

Задача 49. Король дал двум своим мудрецам задание: «Завтра на каждого из вас наденут либо белый, либо чёрный колпак, и каждому вручат две таблички — белую и чёрную. Вы увидите только колпак товарища, но не сможете обмениваться никакой информацией. По команде вы одновременно поднимете одну из табличек. Испытание будет пройдено, если хотя бы у одного из вас цвет колпака совпадёт с цветом поднятой им таблички». У мудрецов есть ровно сутки, чтобы придумать, как справиться с головоломкой короля. Могут ли они гарантированно пройти испытание?

Задача 50. Можно ли натуральные числа 1, 2, ... , 20, 21 разбить на группы из трёх чисел, в каждой из которых наибольшее число равно сумме двух остальных?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/b5ep7dxc5dku1dm/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2008%2018.11.pdf?dl=0

Занятие 18 ноября: Снова инварианты

Задача. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 20, 21. Можно стереть любые два числа a и b и записать число a + b − 2. Какое число получится после 20 таких действий?

Задача. В банк Сакраменто можно положить за один раз 120 долларов или снять 300 долларов. У Билла есть 1000 долларов. Какую максимальную сумму он может положить в банк за несколько визитов?

Задача. Петя ввёл в компьютер число 1. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число 123456789? Число, состоящее из 2016 единиц?

Задача. В таблице 8×8 угловая клетка покрашена чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?

Задача. В таблице 9×9 угловая клетка покрашена чёрным цветом, остальные белым. За ход можно одновременно поменять цвета всех клеток в столбце или строке. Можно ли через несколько ходов получить таблицу, покрашенную в белый цвет?

Задача. Круг разделили на 6 секторов, в каждом лежит селедка. За ход можно одну селедку передвинуть в соседний сектор. Можно ли собрать все селедки в одном секторе ровно за 20 ходов?

 

Домашняя на 18 ноября: Инвариант

Задача 40. Илья Муромец воюет со Змеем Горынычем. За один удар Илья может срубить не более трёх голов. Когда Илья отрубает ему одну голову, вырастает еще три. Когда одним ударом срубает три головы, вырастает только одна. Когда одним ударом отрубает две головы, то вырастает четыре. Когда отрубает четыре, ничего не вырастает. Может ли Илья победить, если голов в начале битвы было 3?

Задача 41. В языке Древнего Племени алфавит состоит всего из двух букв: "М" и "О". Два слова являются синонимами, если одно из другого можно получить при помощи исключения или добавления буквосочетаний "МО" и "ООММ", повторяемых в любом порядке и любом количестве. Являются ли синонимами в языке Древнего Племени слова "ОММ" и "МОО"?

Задача 42. У Малыша 43 ириски и 15 карамелек. Каждый день он дарит какие-то две конфеты Карлсону. Если Малыш дарит ему две разные конфеты, то Карлсон дарит Малышу одну ириску, а если две одинаковые, то Карлсон дарит ему одну карамельку. В итоге у Малыша останется всего одна конфета. А какая?

Задача 43. Круг разделен на 6 секторов, в котором по часовой стрелке стоят числа 1,0,1,0,0,0. Можно прибавлять по единице к любым числам, стоящим в двух соседних секторах. Можно ли сделать все числа равными?

Задача 44. По кругу стоят натуральные числа от 1 до 6 по порядку. Разрешается к любым трём подряд идущим числам прибавить по 1 или из любых трёх, стоящих через одно, вычесть 1. Можно ли с помощью нескольких таких операций сделать все числа равными?

Задача 45. На острове Серобуромалин обитают 13 серых, 15 бурых и 17 малиновых хамелеонов. Если встречаются два хамелеона разного цвета, то они одновременно меняют свой цвет на третий. Может ли случиться, что через некоторое время все хамелеоны будут одного цвета?

Задача 46. Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?

Задача 47. На столе лежит куча из 1001 камня. Ход состоит в том, что из какой-либо кучи, содержащей более одного камня, выкидывают камень, а затем одну из куч (ту же или любую другую) делят на две, необязательно равные. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучки, состоящие из трех камней?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/xkq7x7o33rl1rrr/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2007%2011.11.pdf?dl=0

Занятие 11 ноября: Инвариант

Задача. Может ли шахматный слон за несколько ходов дойти с клетки a1 до клетки a8?

Задача. Автомат по размену денег меняет монету в 20 р. на 3 монеты — 10, 5 и 5 р., а 50 р. — на 3 монеты: 20, 20, 10 р.. У Васи есть 11 монет. Может ли он с помощью автомата за несколько обменов получить 20 монет?

Задача. На доске записаны натуральные числа от 1 до 20. Разрешается стереть любые два числа и вместо них написать их разность. После девяти таких операций на доске остается одно число. Может ли оно оказаться единицей?

Задача. На 20ёлках сидят 20 чижей, на каждой ёлке — по чижу. Ёлки растут в ряд с интервалами в 10 метров. Если какой-то чиж перелетает с одной ёлки на другую, то какой-то другой чиж перелетает на столько же метров в противоположном направлении.

Задача. 100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку. Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

Задача. На бесконечной шахматной доске по диагонали стоят две шашки черного цвета. Можно ли поставить на доску белую шашку и несколько черных так, чтобы белая шашка съела все стоящие на доске шашки одним ходом?

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 192;