Домашняя на 24 февраля: Теория чисел



Задача 110. На 99 карточках пишут числа 1, 2, ..., 99, перемешивают их, раскладывают чистыми сторонами вверх и снова пишут числа 1, 2, ..., 99. Для каждой карточки складывают два её числа и 99 полученных сумм перемножают. Докажите, что результат чётен.

Задача 111. В начале времен на острове Буяне жили 100 рыцарей, 99 принцесс и 101 дракон. Рыцари убивают драконов, драконы едят принцесс, а принцессы изводят до смерти рыцарей. Древнее заклятие запрещает убивать того, кто сам погубил нечетное число других жителей. Сейчас на острове Буяне остался всего один житель. Кто это?

Задача 112. Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете "Жёлтый листок" Незнайка сказал: "Знайка дал мне три числа. Их сумма равна 201, а произведение равно 30030". Докажите, что Незнайка соврал.

Задача 113. Можно ли числа от 1 до 32 разбить на группы с одинаковыми произведениями?

Задача 114. Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером a×b см, где a и b — целые числа, причём a < b. Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить a и b?

Задача 115 a² + b² делится на 21. Докажите, что a² + b² делится на 441.

Задача 116. В лаборатории содержится 50 мышей, часть из них чёрные, а часть — белые. Они рассажены по 25 двухместным клеткам так, что ровно у половины белых мышей соседи по клетке чёрные. Докажите, что мышей нельзя пересадить так, чтобы ровно у половины чёрных мышей соседи по клетке были белыми.

Задача 117. Камни лежат в трех кучках: в одной — 51 камень, в другой — 49 камней, а в третьей — 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из четного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/npyyz3vamff9tcm/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2017%2017.02.pdf?dl=0

Домашняя на 17 февраля: Группа перестановок

Перестановка записывается так:

и на кошках означает следующее: шесть кошек сидят на шести подушках и одновременно встают и переходят на новые подушки. Кошка с первой подушки перешла на третью, со второй — на пятую. Кошка с четвёртой подушки осталась на месте.

Множество перестановок на n кошках обозначается как Sn.

Ту же перестановку можно записать по-другому:

 — здесь снова кошка со второй подушки перешла на пятую, а с четвёртой — осталась на месте.

На множестве перестановок вводится операция композиции:

Задача 101. Докажите, что множество перестановок Sn с операцией композиции является группой: что операция ассоциативна, у неё есть нейтральный элемент id и у каждой перестановки есть обратная. Покажите, что она не является коммутативной.

В перестановке выше есть три цикла:

l кошка с первой подушки перешла на третью, а с третьей — на первую,

l кошка со второй подушки перешла на пятую, с пятой — на шестую, а с шестой — на вторую,

l кошка с четвёртой подушки осталась на месте.

Это можно записать так:

 — неподвижные элементы иногда опускают. Перестановка, состоящая из одного цикла, называется циклической.

Если перестановку σ применить дважды подряд, это записывается σ2.

Минимальное натуральное число n, что σn = id, называется порядком элемента σ.

Задача 102. Докажите строго, что любая перестановка может быть представлена как произведение непересекающихся циклов.

Задача 103. Рассмотрим две перестановки из S5:

Несложно показать, что они коммутируют, то есть A×B = B×A. Докажите, что любые две циклические перестановки, циклы которых не пересекаются, коммутируют (то есть при перемене мест композиция не меняется).

Задача 104. (для тех, кто не был на занятии) Определите порядок:

а) перестановки

б) перестановки ,

в) Используя разложение на циклы, определите, как вычислить порядок перестановки.

Задача 104. (для тех, кто был на занятии) Мы нашли два решения уравнения X2 = (3, 4, 5) для X из группы S5. Докажите, что других решений нет.

Задача 105. Перестановки какого порядка существуют в группе S7? Не забудьте обосновать ответ!

Задача 106. Вычислите

Докажите, что каждая перестановка может быть представлена как произведение циклов вида:

Задача 107. (1 2), (1 3), (1 4), … (1 n)

Задача 108 (1 2), (2, 3), (3, 4), … (n–1 n)

Задача 109. (1 2), (1 2 3), (1 2 3 4), … (1 2 3 … n)

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/sh/rqxgckwyxnmof2i/AAD1rEa1ZX4y67jEo9OsCfvca?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 79;