Домашняя на 23 декабря: Разные



Задача 73. Известно, что среди членов правительства Лимонии (а всего в нем 20 членов) заведомо имеется хотя бы один честный, а также что из любых двух хотя бы один — взяточник. Сколько в правительстве взяточников?

Задача 74. Сто человек сидят за круглым столом, причём больше половины из них — лимонийцы. Докажите, что какие-то два лимонийца сидят друг напротив друга.

Задача 75. Если класс из 30 человек рассадить в зале кинотеатра, то в любом случае хотя бы в одном ряду окажется не менее двух одноклассников. Если то же самое проделать с классом из 26 человек, то по крайней мере три ряда окажутся пустыми. Сколько рядов в зале?

Задача 76. На острове Невезения живут 100 человек, причём некоторые из них всегда лгут, а остальные говорят только правду. Каждый житель острова поклоняется одному из трёх богов: богу Солнца, богу Луны или богу Земли. Каждому жителю острова задали три вопроса:

Поклоняетесь ли Вы богу Солнца?

Поклоняетесь ли Вы богу Луны?

Поклоняетесь ли Вы богу Земли?

На первый вопрос утвердительно ответили 60 человек, на второй — 40 человек, а на третий — 30 человек. Сколько лжецов на острове?

Задача 77. В войске герцога Икторна 1000 гоблинов. Любые два гоблина либо дружат, либо враждуют, либо незнакомы. Гоблины — существа малообщительные, разговаривают только с друзьями. К тому же все они в плохом настроении, поскольку у каждого гоблина любые два его друга враждуют, а любые два врага дружат. Докажите, что для того, чтобы все войско узнало о предстоящем наступлении на Данвин, герцог должен сообщить об этом не менее чем 200 гоблинам.

Задача 78. Когда комиссия приехала в психбольницу, там находились 9 врачей и 49 пациентов. Комиссия попросила каждого указать на двух врачей. Каждый врач показал на двух других, а пациенты показали на кого угодно. Сможет ли комиссия выявить хотя бы одного пациента?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/9b22efd34oqynlf/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2012%2016.12.pdf?dl=0

Занятие 16 декабря: Гомотетия

Разбор домашних задач.

 

Домашняя на 16 декабря: Гомотетия

Гомотетия с центром в точке O и коэффициентом k — преобразование плоскости, которое каждой точке A ставит в соответствие точку A’ на прямой OA, что OA’ = |k| × OA. Если k > 0, то точки A и A’ находятся по одну сторону от O, если k < 0, то по разные.

Желательно все задачи решать через гомотетию, хотя если не получается — можно просто через подобия.

Задача 65. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что радиусы и касательные, проведённые через концы образовавшихся хорд, параллельны.

Задача 66. Точки M и K лежат на сторонах соответственно AB и BC треугольника ABC, отрезки AK и CM пересекаются в точке P. Известно, что каждый из отрезков AK и CM делится точкой P в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что AK и CM — медианы треугольника.

Задача 67. Замечательное свойство трапеции. Докажите, что точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции, середины оснований и точка пересечения диагоналей лежат на одной прямой.

Задача 68. Внутри квадрата ABCD взята точка M. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников ABM, BCM, CDM и DAM образуют квадрат.

Задача 69. Четырёхугольник разделён диагоналями на четыре треугольника. Доказать, что точки пересечения его медиан образуют параллелограмм.

Задача 70. Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M; P — произвольная точка. Прямая la проходит через A параллельно PA1, прямые lb и lc определяются так же. Доказать, что la, lb и lc пересекаются в одной точке Q.

Задача 71. На окружности фиксированы точки A и B, а точка C движется по этой окружности. Найти геометрическое место точек пересечения медиан треугольников ABC.

Задача 72. Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все его стороны отодвинуть на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному. Доказать, что этот многоугольник описанный.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/sd8482epmtklzfc/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2011%2009.12.pdf?dl=0

Занятие 9 декабря: Гомотетия

Задача. Доказать свойства гомотетии:

·      прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в прямую, параллельную ей,

·      отрезок длины x переходит в отрезок длины |k|x,

·      окружность переходит в окружность,

·      гомотетия сохраняет углы.

Задача. Докажите, что две касающиеся окружности гомотетичны относительно их точки касания.

Задача. Две окружности касаются внешним образом. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна равна 5/13‍ другой. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно 36.

Задача. Две окружности касаются в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B, вторую — в точках C и D. Докажите, что ABCD.

Задача. На каждом из оснований AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники. Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Задача. Докажите, что точки, симметричные произвольной точке относительно середин сторон квадрата, являются вершинами некоторого квадрата.

Задача. В равнобедренной трапеции с основаниями 1 и 9 расположены две окружности, каждая из которых касается другой окружности, двух боковых сторон и одного из оснований. Найдите площадь трапеции.

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 107;