Домашняя на 10 февраля: Отображения и операции



Задача 92. Постройте любое отображение из множества многочленов в множество натуральных чисел. Является ли оно сюръективным? Инъективным?

Задача 93. Постройте любое отображение из множества кошек на Земле в множество отрезков на прямой OX.

Задача 94. Рассмотрим множество пар действительных чисел (обозначается RR) с операцией:

(x, y) ◦ (a, b) = (x, b). Является ли эта операция ассоциативной? Коммутативной?

Свойство обратимости означает, что для каждого элемента a найдётся такой элемент b, что a ◦ b = e, b ◦ a = e, где e — нейтральный элемент. b обычно обозначают как a-1. Очевидно, если у операции нет нейтрального элемента, она не может быть обратимой.

Свойство сократимости означает, что если для каких-то a, b и c верно, что a ◦ b = a ◦ c, то отсюда следует, что b = c.

Задача 95. Приведите пример несократимой операции.

Приведите пример или постройте множество с заданной на нём операцией, которая:

Задача 96. ...коммутативна, ассоциативна, обладает нейтральным элементом, сократима, но не обратима;

Задача 97. ...коммутативна, ассоциативна, сократима, но не обладает нейтральным элементом,

Задача 98. ...коммутативна и сократима, но не ассоциативна и не обладает нейтральным элементом (подсказка: такую операцию можно построить на множестве из трёх элементов)

Задача 99. ...не коммутативна, не ассоциативна, не сократима и не обладает нейтральным элементом.

Задача 100. (для тех, кто скучает по олимпиадным формулировкам) На одном солнечном острове обитают покемоны разных видов. Иногда два покемона сталкиваются на лету и превращаются в какого-то ещё покемона. При этом известно, что:

а) зная, какие покемоны столкнулись, всегда можно точно сказать, какой покемон получится;

б) если трёх покемонов посадить в одну клетку, итоговый покемон не зависит от того, в каком порядке они сталкивались;

в) в кого бы ни врезался Пикачу, в результате всегда получается тот же покемон;

г) у любого вида покемона есть другой вид покемона, в столкновении с которым получается Пикачу.

Также известно, что каждый раз, когда Пиджит сталкивается с Катерпи, получается Глум.

Однажды один Пиджит влетел в тёмную комнату и с кем-то столкнулся, и из комнаты вылетел Глум. Докажите, что он мог столкнуться только с Катерпи.

Домашняя на 3 февраля: Отображения и операции

Если даны два множества A и B, можно поставить каждому элементу из A в соответствие некоторый элемент из B. Это соответствие называется функцией из A в B, и обозначается f : AB.

Если разные элементы из A отображаются в разные элементы B, функция называется инъективной. Если в каждый элемент из B отображен какой-то элемент из A, функция называется сюръективной. Если функция одновременно инъективна и сюръективна, она называется биективной.

Задача 84. Составить примеры функций а) из множества квадратов в множество действительных чисел; б) из множества пар натуральных чисел в множество точек на плоскости, в) из множества пар натуральных чисел в множество точек в пространстве.

Задача 85. Составить примеры функций из натуральных чисел в натуральные числа, а) инъективной, но не сюръективой, б) сюръективной, но не инъективной, в) биективной.

Для множества M можно построить алгебраическую операцию f : M×M → M, которая по любым двум элементам множества строит третий элемент. Свойства

Коммутативность: если a ◦ b = b ◦ a.

Ассоциативность: если (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Нейтральный элемент: если в множестве M существует такое e, что a ◦ e = e ◦ a = a для любого a.

Обратный элемент: если для любого a существует b, что a ◦ b = e.

Множество с ассоциативной операцией, нейтральным и обратным элементом называется группой; если операция коммутативна, группа называется абелевой.

Задача 86. Для каждой из операций на данных множествах определите, является ли она ассоциативной, коммутативной, обладает ли нейтральным и обратным элементом:

а) x ◦ y = xy на множестве натуральных чисел

б) x ◦ y = НОД(x, y) на множестве натуральных чисел

в) x ◦ y = 2xy на множестве натуральных чисел

г) x ◦ y = x2 + y2 на множестве целых чисел

д) x ◦ y = x/y на множестве действительных чисел без нуля

е) x ◦ y = min(x, y) на множестве натуральных чисел

ж) x ◦ y = min(x, y) на множестве действительных чисел

з) x ◦ y = x на множестве действительных чисел

Задача 87. Пусть множество G состоит из двух элементов: {a, b}. Задать на нём такую операцию, чтобы G стало группой. Определить, является ли эта группа абелевой.

Задача 88. Рассмотрим целое число a и множество { an } для всех целых n с операцией умножения. Является ли это множество группой?

Задача 89. Рассмотрим множество остатков при делении на 11 с операцией сложения. Является ли это множество группой?

Задача 90. Пусть в множестве G задана ассоциативная операция с нейтральным элементом e, и пусть у некоторого элемента a есть левый и правый обратный элемент, то есть есть такие b и c, что b a = e, a c = e. Докажите, что b = c.

Задача 91. Рассмотрим квадрат на плоскости и множество его параллельных переносов. Задайте операцию на этом множестве, превращающую его в группу. Будет ли эта группа абелевой?

Домашняя на 13 января

Задача 79. В семье четыре человека. Если Маше удвоят стипендию, то общий доход всей семьи возрастет на 5%, если вместо этого маме удвоят зарплату, то на 15%, если же зарплату удвоят папе, то на 25%. На сколько процентов возрастет доход семьи, если дедушке удвоят пенсию?

Задача 80. Доказать, что любой квадратный трёхчлен можно представить как разность двух трёхчленов, каждый из которых не имеет корней.

Задача 81. Отразим дугу АС описанной окружности равностороннего треугольника АВС, не содержащую вершину В, относительно стороны АС, и возьмём на ней произвольную точку М. Обозначим за D пересечение луча АМ со стороной ВС, и за Е — пересечение луча СМ со стороной АВ. Доказать, что АD=CE.

Задачa 82. Найти максимальную длину последовательности, содержащей только простые натуральные числа, каждый следующий член которой на 30 больше предыдущего.

Задача 83. Каждая клетка доски 8 на 8 окрашена в один из 3 цветов. Уголком называется фигура из трёх клеток, имеющих общую вершину. Может ли количество уголков на доске, состоящих из клеток трёх разных цветов, равняться 100?


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 107;