Домашняя на 21 октября: Неравенства



Неравенства, которыми можно пользоваться без доказательства:           

Задача 9. Уравнение  имеет корень a + b. Доказать, что .

Задача 10. , если .

Задача 11. Найти наименьшее значение выражения  при положительных x.

Задача 12. Докажите неравенство Коши для четырёх неотрицательных чисел:

Задача 13. , где a, b > 0.

Задача 14 , где a, b > 0.

Задача 15. Сумма чисел ­a, b и c равна 0, а их произведение отрицательно. Доказать, что число   положительно.

Задача 16. Произведение положительных чисел a1, a2, ..., an равно 1. Докажите, что (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2n.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/hnndgxbwt6wyfdr/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2003%2021.10.pdf?dl=0

Занятие 14 октября: Неравенства

Исходный рубеж

Задача 1. .

Задача 2.  для любых положительных a и b.

Задача 3.

Основной листок

Задача 1.

Задача 2. , если .

Задача 3.  для положительных a, b.

Задача 4. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc для положительных a, b, c.

Задача 5. .

Задача 6. Что больше:  или ?

Задача 7. Пусть ­ — положительные числа, и . Доказать, что .

Задача 8.

Первый листок

Задача 1. , если .

Задача 2. для положительных a, b.

Задача 3. (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc для положительных a, b, c.

Задача 4. .

Задача 5.  для положительных a, b.

Задача 6. Пусть ­ — положительные числа, и . Доказать, что .

Задача 7.

Задача 8. Произведение положительных чисел a1, a2, ..., an равно 1. Докажите, что (1 + a1)(1 + a2)...(1 + an) ≥ 2n.

Задача 9.

Домашняя на 14 октября: Неравенства

Доказать неравенства (для любых действительных переменных, если не указано иное):

Задача 1.

Задача 2. , если .

Задача 3.

Задача 4.

Задача 5. Известно, что . Доказать, что .

Задача 6. Известно, что  и  для всех i. Доказать, что .

Задача 7. Известно, что . Доказать, что .

Задача 8.

Занятие 7 октября: Неравенства

Доказать неравенства (для любых действительных переменных, если не указано иное):

Задача.

Задача.  для любых  (среднее арифметическое больше либо равно среднего геометрического).

Задача.  для любых  (среднее геометрическое больше либо равно среднего гармонического).

Задача.

Задача.

Задача.

Задача.

Задача. Известно, что . Найти наибольшее возможное значение .

Задача.  для любого натурального k.

Задача.

Задача.

Задача.

Задача. Известно, что . Доказать, что .

 

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/4felzlu85uu1i7j/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2002%2007.10.pdf?dl=0

Ссылка на кондуит:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1LVHLkPA9T0UVyfwlHOb6U2SYtKwm_OuN0sW6ez_upmk/

Занятие 30 сентября: регата

Первый тур (10 минут; каждая задача – 6 баллов).

1.1. Решите уравнение: x(x + 1) = 2014*2015.

1.2. Из четырех палочек сложен контур параллелограмма. Обязательно ли из них можно сложить контур треугольника (одна из сторон треугольника складывается из двух палочек)?

1.3. Три пирата нашли клад, состоящий из 240 золотых слитков общей стоимостью 360 долларов. Стоимость каждого слитка известна и выражается целым числом долларов. Может ли оказаться так, что добычу нельзя разделить между пиратами поровну, не переплавляя слитки?


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 59;