Домашняя на 24 марта: Теория чисел



Задача 132. Найдите наименьшее натуральное число, которое даёт остаток 1 при делении на любое из чисел 2, 4, 6, 8.

Задача 133. Докажите, что произведение любых трёх подряд идущих целых чисел делится на 6.

Задача 134. Докажите, что при любом натуральном n число 4n – 1 делится на 3.

Задача 135. Докажите, что m3 + 2m делится на 3 для любого натурального m.

Задача 136. Докажите, что n2 + 1 не делится на 3 ни при каком натуральном n.

Задача 137. Докажите, что что p² − 1 делится на 24, если p — простое число, большее 3.

Задача 138. Найдите остаток от деления числа 1! + 2! + 3! + ... + 15! на 15.

Задача 139. Номер телефона у Джейн — 395322, а у Ирэн — 435903. Если разделить эти номера на трехзначный код города, где они живут, получатся одинаковые остатки, равные двузначному коду страны, где они живут. В какой стране живут девушки? Найдите хотя бы её код.

Задача 140. Докажите, что сумма любых двенадцати последовательных чисел не делится на 4.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/z5yufja5qo2ijci/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2020%2017.03.pdf?dl=0

Домашняя на 17 марта: Теория чисел

Задача 124. Существует ли натуральное число, произведение цифр которого равно 528?

Задача 125. Ивану Ивановичу заплатили 123450 рублей купюрами достоинством 10, 50 и 100 рублей. Он пересчитал купюры и обнаружил, что 50-рублевых купюр втрое больше, чем 10-рублевых. Докажите, что он ошибся.

Задача 126. Решите в целых числах уравнение x² − y² = 31.

Задача 127. Докажите, что если a, b, c — нечетные числа, то хотя бы одно из чисел ab − 1, bc − 1, ca − 1 делится на 4.

Задача 128. Известно, что a и b — натуральные числа, а из следующих четырёх утверждений —

a + 1 делится на b,      

a = 2 b + 5,      

a + b делится на 3,      

a + 7b — простое число,             

— три верных, а одно неверное. Найдите все возможные пары чисел a, b.

Задача 129. Шестизначное число делится на 7. Докажите, что если последнюю его цифру переставить в начало, то полученное число тоже будет делиться на 7.

Задача 130. Можно ли найти 100 последовательных составных чисел?

Задача 131. Докажите, что произведение любых k последовательных натуральных чисел делится на k!.

 

Кроме того, те, кто решил задачу 115 для иррациональных чисел, можно перерешать её с уточнённым условием:

Задача 115 Натуральные числа a и b таковы, что a² + b² делится на 21. Докажите, что a² + b² делится на 441.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/hf0ghvfl981od63/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2019%2003.03.pdf?dl=0

Домашняя на 3 марта: Теория чисел

Задача 118. Делится ли число 102013 + 8 на 9?

Задача 119. Имеются три автомата. Если одному из них на вход дать карточку, где написаны числа (m, n), то он выдаст карточку с числами (n, m), если другому — выдаст (n + m, n), третьему — выдаст (m - n, n). Можно ли с помощью этих автоматов из карточки (42, 21) получить карточку (19, 84)?

Задача 120. Известно, что a² делится на ab. Докажите, что b² тоже делится на ab.

Задача 121. Число a четно, но не делится на 4. Докажите, что у этого числа четных и нечетных делителей поровну.

Задача 122. Известно, что натуральное число n в 3 раза больше суммы своих цифр. Докажите, что n делится на 27.

Задача 123. Докажите, что 5n + 1 не делится на 5m − 1 ни при каких натуральных n и m.

Ссылка на .pdf-версию:

 

Занятие 24 февраля: Теория чисел

Простое число — число, у которого ровно два делителя. Составное число — число, у которого больше двух делителей.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число можно разложить в произведение простых сомножителей единственным способом.

Два числа, дающие одинаковые остатки при делении на k, называются сравнимыми по модулю k. Записывается как ab (mod k) или просто ab (k).

Свойства: если ab (mod k) и cd (mod k), то:

a) a ± cb ± d (mod k).

b) acbd (mod k).

c) anbn (mod k).

Задача. Существует ли самое большое простое число?

Задача. Докажите, что если a > b, то НОД(a, b) = НОД(b, ab).

Задача. Чему может быть равен НОД(a, a+10)?

Задача. a + 1 делится на 3. Докажите, что 7a + 4 тоже делится на 3.

Задача. 15! = 130*674368***. Найдите цифры, заменённые звёздочками.

Задача. Сформулируйте и докажите признаки делимости на 2, 10, 9, 11, 7, 13.

Задача. Докажите, что число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры, и учётверённой последней цифры делится на 13.

Задача.

a) Число при делении на 8 дает остаток 3. Какой остаток оно дает при делении на 4?

b) Число при делении на 4 дает остаток 3. Какие остатки оно может давать при делении на 8?

c) Число при делении на 15 дает остаток 7. Какой остаток оно дает при делении на 7?

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/a12seltydqk568g/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2018%2024.02.pdf?dl=0


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 152;