Домашняя на 9 декабря: Подобие треугольников



Задача 58. AB и AC — касательные к окружности с центром O, M — точка пересечения прямой AO с окружностью; DME — отрезок касательной, проведённой через точку M, между AB и AC. Найдите DE, если радиус окружности равен 15, а расстояние AO равно 39.

Задача 59. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что AO · BO = CO · DO тогда и только тогда, когда BCAD.

Задача 60. Из внешней точки A проведены к кругу касательная AB и секущая ACD. Найдите площадь треугольника CBD, если AC : AB = 2 : 3 и площадь треугольника ABC равна 20.

Задача 61. Диагональ AC вписанного четырёхугольника ABCD является биссектрисой угла DAB. Докажите, что один из двух треугольников, отсекаемых от треугольника ABC диагональю BD, подобен треугольнику ABC.

Задача 62. Каждая из боковых сторон AB и CD трапеции ABCD разделена на пять равных частей. Пусть M и N — вторые точки деления на боковых сторонах, считая от вершин B и C соответственно. Найдите MN, если основания AD = a и BC = b.

Задача 63. На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN. Докажите, что треугольник MAN подобен треугольнику ABC.

Задача 64. Теорема о касательной и секущей. Из одной точки проведены касательная и секущая к некоторой окружности. Докажите, что произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату длины отрезка касательной.

Занятие 2 декабря: Подобие треугольников

Задача. На стороне BC треугольника ABC взята точка A1, так что BA1:A1C = 2:1. В каком отношении медиана CC1 делит отрезок AA1?

Задача. Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается извне третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Найдите радиус r, если AB = 12, R = 8.

Задача. В треугольник вписан полукруг, у которого полуокружность касается основания, а диаметр (с концами на боковых сторонах треугольника) параллелен основанию. Найдите радиус полуокружности, если основание треугольника равно a, а высота h.

Задача. Через вершину C параллелограмма ABCD проведена произвольная прямая, пересекающая продолжения сторон AB и AD в точках K и M соответственно. Докажите, что произведение BK · DM не зависит от того, как проведена эта прямая.

Задача. Каждая из боковых сторон AB и CD трапеции ABCD разделена на пять равных частей. Пусть M и N — вторые точки деления на боковых сторонах, считая от вершин B и C соответственно. Найдите MN, если основания AD = a и BC = b.

 Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/d5vrm830mh3c1rw/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2010%2002.12.pdf?dl=0

Домашняя на 2 декабря: Подобие треугольников

Задача 51. Пусть M — середина стороны BC параллелограмма ABCD. В каком отношении отрезок AM делит диагональ BD?

Задача 52. Боковая сторона треугольника разделена в отношении 2 : 3 : 4, считая от вершины, и из точек деления проведены прямые, параллельные основанию. В каком отношении разделилась площадь треугольника?

Задача 53. На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке K. Найдите площадь треугольника BCK, если BC = a, CA = b.

Задача 54. В треугольнике ABC, стороны которого равны a, b и c, проведена параллельно AC прямая MN так, что AM = BN. Найдите MN.

Задача 55. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 16 и катет BC равен 12. Из центра B радиусом BC описана окружность и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе (причём касательная и треугольник лежат по разные стороны от гипотенузы). Катет BC продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определите, на сколько продолжен катет.

Задача 56. В треугольнике ABC проведена прямая BD так, что ∠ABD = ∠BCA. Найдите отрезки AD и DC, если AB = 2 и AC = 4.

Задача 57. Отрезок AB есть диаметр круга, а точка C лежит вне этого круга. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

Ссылка на .pdf-версию:

https://www.dropbox.com/s/g0vzya93jodgh73/11%20%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%20-%2009%2025.11.pdf?dl=0

Занятие 25 ноября: Подобие

Задача. Хорды AB и CD пересекаются в точке M, лежащей внутри круга. Докажите, что треугольники AMD и CMB подобны.

Задача. В параллелограмме ABCD сторона AB = 420. На стороне BC взята точка E так, что BE : EC = 5 : 7, и проведена прямая DE, пересекающая продолжение AB в точке F. Найдите BF.

Задача. Докажите, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу.

Задача. Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 1:2.

Задача. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC за точку C взята точка N, причём CN = AC; точка K — середина стороны AB. В каком отношении прямая KN делит сторону BC?

В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.

 


Дата добавления: 2018-11-24; просмотров: 55;