Відтворення і застосування теорії
Завдання на відтворення
№44.
Середній рівень
1. Навести приклад рівняння зі змінною х.
2. Дати означення кореня рівняння. Встановити, яке з чисел 0; 3; 4 є коренем рівняння 2х – 1 = х + 3.
3. Що означає розв’язати рівняння?
4. Дати означення лінійного рівняння і навести три приклади лінійних рівнянь.
5. Дати означення рівняння першого степеня. У якому випадку лінійне рівняння cx = d є рівнянням першого степеня?
6. Записати корінь рівняння першого степеня ax = b.
Достатній рівень
1. Які рівняння називають рівносильними?
2. Сформулювати правило:
1) перенесення доданків у рівнянні;
2) множення (ділення) обох частин рівняння на число.
3. За якої умови рівняння ax = b не має розв’язків?
4. Записати лінійне рівняння розв’язками якого є будь-яке число.
Завдання на застосування
№45. Варіант 1
Середній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) – 8х = 24; 2) 13х – 2 = 24.
2. 1) 
= –8; 2) 3х – 4 = х + 10.
3. 1) 5х – 18 = 2(х – 3); 2) 
+ 
= 8.
Достатній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 5(х – 3) – 2(х + 7) = 7; 2) 
– 
= 0.
2. 2,7х + 3,2 = 3(2,4 – 1,1х).
3. 
– 
= 2.
Високий рівень
Розв’язати рівняння (1–2):
1. 1) 
+ 
= 6;
2) 0,5 – 2х – (0,7х – 2,1) = 0,1 – 0,9(3х – 1).
|
|
|
2. |5х + 4| = 34.
3. Знайти всі натуральні значення а, при яких корінь рівняння
(а – 1) х = 15 є натуральним числом.
№46. Варіант 2
Середній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 7х = –4; 2) 17х + 2 = 53.
2. 1) = 13; 2) 5х – 8 = 3х –24.
3. 1) 7х – 6 = 2(х + 12); 2) 
– 
= 21.
Достатній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 10(2х – 1) – 3(4х – 5) = 66; 2) 
+ = 0.
2. 14х –13,5 = 3(2х – 2,5).
3. 
– 
= 2.
Високий рівень
Розв’язати рівняння (1–2):
1. 1) 
– 
= 6; 2) 5(5х – 1) + 0,2х = 2,7х – 6,5 – 0,5х.
2. |2х – 3| = 17.
3. Знайти всі натуральні значення а, при яких корінь рівняння
(а – 3) х = 80 є натуральним числом (х — змінна).
№47. Варіант 3
Середній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) –36х = 12; 2) 12х – 3 = 27.
2. 1) 
= –9; 2) 5х – 4 = 2х + 11.
3. 1) 5х – 9 = 2(х + 3); 2) – 
= 8.
Достатній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 3(2х + 1) – 7(х – 1) = 4; 2) 
+ 
= 0.
2. (2х – 1) (0,1х + 5) 
= 0.
3. 
– 
= 20.
Високий рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
|
|
|
1. 1) 
– 
;
2) 3х(14х – 11) – 7х(6х – 5) = 3(2х + 5) – 5х.
2. 5ах + 9х = а, де х — змінна, а — параметр.
3. 
.
№48. Варіант 4
Середній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 32х = –8; 2) 15х + 3 = –42.
2. 1) 
= –5; 2) 9х – 2 = 4х –22.
3. 1) 9х – 2 = 4(х + 7); 2) – 
= 20.
Достатній рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 8(9 + 2х) – 5(1 – 3х) = 5; 2) 
– 
= 0.
2. (3х – 2) (0,2х – 1,8) 
= 0.
3. 
– 
= 3.
Високий рівень
Розв’язати рівняння (1–3):
1. 1) 
+ 
;
2) 7х(4х – 1) – 2х(14х – 3) = 2(х + 4) – 5х.
2. 5ах – 6х = а, де х — змінна, а — параметр.
3. 
.
Тема 2. Розв’язування задач за допомогою рівнянь,
які зводяться до лінійних
Виклад теорії
Основні кроки під час розв’язування задач:
· позначити через x деяке число чи значення величини;
· виразити через x інші невідомі числа, допоміжні невідомі значення величин на основі умови задачі або залежностей між величинами;
· скласти вираз, числове значення якого відоме за умовою задачі
Або
скласти два вирази, що за умовою задачі набувають рівних значень;
· скласти рівняння, у якому ліва частина — складений вираз, а права частина — його значення
|
|
|
Або
скласти рівняння, у якому ліва і права частини — вирази, що набувають рівних значень;
· розв’язати одержане рівняння, використовуючи правила рівносильних перетворень цілих рівнянь.
Приклади.
Задача 1. Одне з чисел утричі більше від іншого, а їх сума дорівнює 40. Знайти менше з чисел.
Розв’язання
1. Позначимо через x менше число.
2. Виразимо через x більше число: 3x.
3. Складемо вираз, який є сумою цих чисел: x + 3x.
4. Складемо рівняння за умовою задачі: x + 3x = 40.
5. Розв’язуємо рівняння:
x + 3x = 40; 4x = 40; x = 10.
Отже, менше число дорівнює 10.
Задача 2. За два дні учні зібрали 70 кг лікарських рослин, причому за другий день вони зібрали на 12 кг більше, ніж за перший. Скільки кілограмів лікарських рослин зібрали учні за перший день?
Розв’язання
Нехай за перший день учні зібрали x кг лікарських рослин.
Тоді за другий день вони зібрали (x + 12) кг.
За два дні учні зібрали (x + (x + 12)) кг.
Складаємо та розв’язуємо рівняння: x + (x + 12) = 70; x + x + 12 = 70; 2x + 12 = 70; 2x = 58; x = 29.
Отже, за перший день учні зібрали 29 кг лікарських рослин.
Задача 3. У Михайлика було марок у 4 рази більше, ніж в Андрійка. Якщо Михайлик подарує Андрійкові 60 марок, то в Андрійка марок стане удвічі менше, ніж у Михайлика. Скільки марок було у кожного хлопчика спочатку?
|
|
|
Розв’язання
1. Нехай у Андрійка було x марок.
2. Тоді в Михайлика було 4x марок.
Якщо Михайлик подарує 60 марок, то у нього стане (4x – 60) марок, а в Андрійка — (x + 60) марок.
3. За умовою, в Андрійка стане удвічі менше марок, ніж у Михайлика. Тому рівними мають бути значення виразів 4x – 60 і 2(x + 60).
4. Складаємо і розв’язуємо рівняння: 4x – 60 = 2(x + 60).
4x – 60 = 2(x + 60); 4x – 60 = 2x + 120; 4x – 2x = 120 + 60; 2x = 180; x = 90.
Отже, в Андрійка було 90 марок, а в Михайлика — 4 · 90 = 360 (марок).
При розв’язуванні задач з кількома величинами допоміжні невідомі виражають через x на основі залежностей між величинами (наприклад, між відстанню, швидкістю і часом).
Приклади.
Задача 1. Відстань від одного села до іншого пішохід проходить за 3 год, а спортсмен — за 2 год. Яка відстань між селами, якщо швидкість спортсмена на 2 км/год більша від швидкості пішохода?
Розв’язання
1. Позначимо через x км відстань між селами.
2. Виразимо через x швидкість пішохода та швидкість спортсмена: 
км/год — швидкість пішохода; 
км/год — швидкість спортсмена (використали залежність між швидкістю v, шляхом s та часом t: 
).
3. Складаємо вираз, який є різницею швидкостей: 
– .
4. Складаємо рівняння: 
– 
= 2 (за умовою, швидкість спортсмена на 2 км/год більша від швидкості пішохода).
5. Розв’язуємо рівняння: – = 2; 
; 3x – 2x = 12; x = 12.
Отже, відстань між селами дорівнює 12 км.
Задача 2. За 10 год теплохід проходить за течією річки таку ж відстань, як за 11 год проти течії річки. Знайти власну швидкість теплохода, якщо швидкість течії річки дорівнює 1 км/год.
Розв’язання
1. Позначимо через x км/год власну швидкість теплохода.
2. Тоді (x + 1) км/год — швидкість теплохода за течією річки, (x – 1) км/год — швидкість теплохода проти течії річки.
3. 10 · (x + 1) км — відстань, яку пройшов теплохід за 10 год за течією річки,
11 · (x – 1) км — відстань, яку пройшов теплохід за 11 год проти течії річки.
4. Складаємо рівняння: 10 · (x + 1) = 11 · (x – 1).
10 · (x + 1) = 11 · (x – 1); 10x + 10 = 11x – 11; 10x – 11x = –11 – 10; –x = –21; x = 21.
Початкове вивчення теорії
Навчальні завдання
№49.
1. Дано два числа. Перше число позначено через x. Чому дорівнює друге число, якщо воно...
1) на 10 більше від першого?
а) x – 10; б) x + 10; в) 10x;
2) на 5 менше від першого?
а) x – 5; б) x + 5; в) 
;
3) утричі більше від першого?
а) x + 3; б) 3x; в) 
;
4) у 4 рази менше від першого?
а) x – 4; б) 4x; в) 
.
2. Дано два числа. Перше число позначено через x. Чому дорівнює друге число, якщо воно...
1) становить 0,6 від першого?
а) x + 0,6; б) 0,6x; в) 
;
2) становить 40% від першого?
а) 40x; б) 0,04x; в) 0,4x;
3) становить 150% від першого?
а) 150x; б) 1,5x; в) 15x.
3. Дано два числа. Друге число позначено через x. Виразити через x перше число, якщо воно...
1) на 17 менше від другого;
2) на 12 більше від другого;
3) у 5 разів більше від другого;
4) становить 0,3 від другого;
5) становить 75% від другого;
6) становить 130% від другого.
7) Одне з чисел на 15 більше від іншого. Менше з чисел позначено через х. Виразити через х більше число.
8) Одне з додатних чисел у 6 разів більше від іншого. Менше з цих чисел позначене через х. Виразити через х більше число.
9) Середня швидкість потяга становить x км/год. Яку відстань він проїде за 4 години?
10) Швидкість човна у стоячій воді дорівнює x км/год. Яка його швидкість за течією річки, якщо швидкість течії річки 2 км/год?
11) Швидкість течії річки дорівнює 3 км/год. Яка швидкість човна проти течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді позначено через x км/год?
12) Поле, площа якого х га, було засіяно за 4 дні, порівну кожного дня. Виразити через х площу, що засівали за один день.
13) За 5 год робітник виготовив х деталей. Виразити через х кількість деталей, яку виготовляв робітник за одну годину.
14) Відстань, що дорівнює х км, мотоцикліст проїжджає за 3 год. Виразити через х його середню швидкість руху.
№50.
1. 1) Одне з чисел у 4 рази більше від іншого, а їх сума дорівнює 50. Менше з чисел позначено через х. Яке з наведених рівнянь відповідає умові задачі:
а) х + х + 4 = 50; б) х + 4х = 50; в) х + х :4 = 50?
2) Сума двох чисел дорівнює 56. Одне з чисел на 10 менше від іншого. Менше з чисел позначене через x. Вказати рівняння, складене для розв’язання задачі:
а) х + (х + 10) = 56; б) х + (х – 10) = 56; в) х + 10х = 56.
3) Одне з додатних чисел у 5 разів більше від іншого, а їх різниця дорівнює 32. Менше з чисел позначено через х. Яке з рівнянь відповідає умові задачі:
а) х +5 – х = 32; б) 5х + х = 32; в) 5х – х = 32?
4) Менше з чисел становить 0,8 від більшого, а їх сума дорівнює 36. Більше з чисел позначено через х. Яке з рівнянь відповідає умові задачі:
а) х – 0,8х = 36; б) х + 0,8х = 36; в) х +1,8х = 36?
2. 1) У першій пачці утричі більше зошитів, ніж у другій, а разом у них 80 зошитів. Скільки зошитів у кожній пачці? Кількість зошитів у другій пачці позначена через х. Вказати рівняння, що відповідає умові задачі:
а) 3х + х = 80; б) 3х – х = 80; в) (х +3) – х = 80.
2) У другій бригаді утричі більше робітників, ніж у першій. Скільки робітників у першій бригаді, якщо у другій на 12 робітників більше. Кількість робітників у першій бригаді позначена через x. Вказати рівняння, що відповідає умові задачі:
а) 3х + х = 12; б) 3х – х = 12; в) (х +3) – х = 12.
3. Дано два числа. Позначити перше число через x, виразити друге число через x і скласти рівняння, якщо:
1) друге число більше від першого у 7 разів, а їх сума дорівнює 72;
2) друге число більше від першого у 8 разів, а їх різниця дорівнює 56;
3) друге число на 15 більше від першого, а їх сума дорівнює 105;
4) друге число становить 0,9 від першого, а їх сума дорівнює 38.
№51.
1. 1) Відстань між пунктами А і В позначена через x км. Виразити через x час руху велосипедиста від пункту А до пункту В, якщо його швидкість дорівнює 30 км/год.
а) 
год; б) 30x год; в) 
год.
2) Швидкість руху потяга дорівнює 70 км/год. За скільки годин він проходить відстань, що дорівнює x км:
а) за 70x год; б) за 
год; в) за 
год?
3) Відстань між містами дорівнює 300 км. За скільки годин проїде цю відстань автомобіль, рухаючись зі швидкістю x км/год?
а) За 
год; б) за 
год; в) за 300x год.
4) Робітник виготовив 240 деталей за x год. Скільки деталей виготовляв робітник за 1 годину?
|
дет.; б) 
дет.; в) 240x дет.
5) Робітник виготовив x деталей за 7 год. Скільки деталей виготовляв робітник за 1 годину?
а) 7x дет.; б) 
дет.; в) 
дет.
6) За годину робітник виготовив 12 деталей. За скільки годин він виготовив x деталей?
а) 
год; б) 12x год; в) 
год.
7) З пункту А у пункт В виїхав велосипедист зі швидкістю 30 км/год, а назад він повертався зі швидкістю 20 км/год. Відстань між пунктами позначено через x км. Чому дорівнює загальний час руху?
а) 
год; б) 
год; в) (30x + 20 x)год.
2. 1) З пункту А у пункт В велосипедист їхав зі швидкістю 30 км/год, а назад він повертався зі швидкістю 25 км/год. На весь шлях він затратив 6 год. Відстань між пунктами позначена через x км. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 
; б) 
; в) 
.
2) З пункту А у пункт В автомобіль їхав зі швидкістю 90 км/год, а назад він повертався зі швидкістю 80 км/год, і тому затратив на це на 1 год більше часу. Відстань між пунктами А та В позначено через x км. Яке з рівнянь відповідає умові задачі?
а) 
; б) 
; в) 
.
3) Одну й ту ж кількість деталей робітник виготовив за 3 год, а його учень — за 4 год, оскільки робітник виготовляв за годину на 10 деталей більше. Кількість деталей, що становили завдання, позначено через x. Вказати рівняння, що відповідає умові задачі.
а) 
; б) 
; в) 
.
3. 1) За 5 год човен за течією річки проходить такий же шлях, як і за 6 год у стоячій воді. Швидкість течії річки дорівнює 2 км/год. Для знаходження власної швидкості човна її позначено через x км/год. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 5x = 6(x + 2); б) 5(x + 2) = 6x; в) 5(x + 2) = 6(x – 2).
2) Відстань між двома пристанями човен, рухаючись за течією річки, проходить за 6 год, а рухаючись назад проти течії, він проходить її за 8 год. Швидкість течії річки дорівнює 2,5 км/год. Для знаходження власної швидкості човна її позначили через x км/год. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 6(x – 2,5) = 8(x + 2,5); б) 6(x + 2,5) = 8(x – 2,5);
в) 6(x + 2,5) = 8x.
3) На одній ділянці кущів малини в 5 разів більше, ніж на іншій. Коли з першої ділянки пересадили на другу 22 кущі малини, то на обох ділянках кущів стало порівну. Для встановлення кількості кущів малини, що була спочатку на другій ділянці, її позначили через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 5x + 22 = x – 22; б) 5x – 22 = x + 22; в) 5x + 22 = x + 22.
4) Одне число утричі більше від іншого. Після того як перше число зменшили на 20, воно стало удвічі більше від другого. Для знаходження меншого з чисел його позначили через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 3x – 20 = 2(x + 20); б) 3x + 20 = 2x; в) 3x – 20 = 2x.
5) Одне число у 6 разів більше від іншого. Після того як перше число зменшили на 40, а друге збільшили на 30, одержали рівні числа. Для знаходження меншого з чисел його позначено через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 6x + 40 = x – 30; б) 6x – 40 = x + 30; в) 6x – 40 = x – 30.
6) На одному елеваторі було 2800 т зерна, а на іншому — 1500 т. З першого елеватора щоденно вивозили по 50 т зерна, а на другий привозили по 80 т. Через x днів зерна на обох елеваторах стало порівну. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 2800 – 50x = 1500 – 80x; б) 2800 + 50x = 1500 + 80x;
в) 2800 – 50x = 1500 + 80x.
7) В одній цистерні міститься 50 т бензину, а в іншій — 7 т. Після того як x т бензину перелили з першої цистерни в другу, у першій стало бензину удвічі більше, ніж у другій. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) 2(50 – x) = 7 + x; б) 50 – x = 2(7 + x); в) 50 – x = 7 + x.
Тренувальні вправи
№52.
1. Дано два числа. Позначивши через x друге число, виразити через x перше й скласти рівняння, якщо...
1) перше число у 10 разів більше від другого, а їх сума дорівнює 220;
2) перше число на 8 більше від другого, а їх сума дорівнює 32;
3) перше число у 5 разів більше від другого, а їх різниця дорівнює 44;
4) перше число становить 0,6 від другого, а їх сума дорівнює 32.
2. За даними умовами скласти рівняння, позначивши через x менше значення величини (1–4):
1) За два дні учні зібрали 700 кг макулатури, причому за другий день зібрали у 6 разів більше, ніж за перший.
2) За дві години потяг проїхав 120 км, причому за другу годину він проїхав на 10 км більше, ніж за першу.
3) У другому зерносховищі зерна утричі більше, ніж у першому, і на 14 т більше, ніж у першому.
4) За два дні туристи подолали 60 км, причому за другий день вони пройшли удвічі більше, ніж за перший.
Завдання для самоперевірки
№53. Варіант 1
1. 1) Одне з чисел у 4 рази більше від іншого. Вказати більше число, якщо менше число позначено через x.
а) x + 4; б) 4x; в) 
.
2) Швидкість човна у стоячій воді позначено через x км/год. Знайти швидкість човна проти течії річки, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.
а) (x + 3) км/год; б) (3 – x) км/год; в) (x – 3) км/год.
3) За 6 год робітник виготовив x деталей. Вказати кількість деталей, які виготовив робітник за 1 год.
а) 6x дет.; б) 
дет.; в) 
дет.
2. 1) Одне з додатних чисел утричі більше від іншого, а їх сума дорівнює 40. Яке з рівнянь відповідає умові задачі, якщо менше з чисел позначили через x?
а) x + 3x = 40; б) 3x – x = 40; в) x + (x + 3) = 40.
2) Майстер і учень виготовили разом 70 деталей, причому майстер виготовив на 20 деталей більше. Яке з рівнянь відповідає умові задачі, якщо кількість деталей, які виготовив учень, позначили через x?
а) x + (x – 20) = 70; б) x + (x + 20) = 70; в) x + (20 – x) = 70.
3) Швидкість моторного човна в стоячій воді позначено через x км/год, а швидкість течії дорівнює 2 км/год. Вказати відстань, яку пройшов човен за течією річки за 4 год.
а) 4(x + 2) км; б) 4(x – 2) км; в) 4x км.
3. 1) Одне з чисел на 20 більше від іншого, а їх сума дорівнює 130. Позначити через x менше число, виразити через x більше число і скласти рівняння.
2) У двох цистернах міститься 40 т бензину, причому в меншій з них міститься утричі менше бензину, ніж у більшій. Позначити через x т кількість бензину в меншій цистерні і скласти рівняння для знаходьження цієї кількості.
3) Одне з чисел становить 20% від іншого, а їх сума дорівнює 44. Більше з чисел позначили через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) x + 20x = 44; б) x + 0,2x = 44; в) x + 0,02x = 44.
№54. Варіант 2
1. 1) Одне з чисел на 18 більше від іншого. Вказати більше число, якщо менше число позначили через x.
а) x – 18; б) 18 – x; в) x + 18.
2) Швидкість човна у стоячій воді позначили через x км/год. Вказати швидкість човна за течією річки, якщо швидкість течії річки дорівнює 2,5 км/год.
а) (x – 2,5) км/год; б) (x + 2,5) км/год; в) (2,5 – x) км/год.
3) За 4 дні засіяли x га поля. Яку площу поля засівали щодня?
а) 
га; б) га; в) 4x га.
2. 1) Одне з чисел удвічі менше від іншого, а їх сума дорівнює 60. Яке з рівнянь відповідає умові задачі, якщо менше з чисел позначили через x?
а) x + (x + 2) = 60; б) x + 2x = 60; в) x + 
= 60.
2) За 2 дні туристи пройшли 38 км, причому за другий день вони пройшли на 8 км більше, ніж за перший. Яке з рівнянь відповідає умові задачі, якщо відстань, пройдену за перший день, позначили через x км?
а) x + (x – 8) = 38; б) x – x – 8 = 38; в) x + (x + 8) = 38.
3) Швидкість моторного човна в стоячій воді позначили через x км/год, а швидкість течії дорівнює 1,5 км/год. Знайти відстань, яку пройшов човен проти течії річки за 3 год.
а) 3x км; б) 3(x + 1,5) км; в) 3(x – 1,5) км.
3. 1) Менше з двох додатних чисел становить 0,7 від більшого, а їх сума дорівнює 28. Знайти ці числа. Позначити через x більше число, виразити через x менше число і скласти рівняння.
2) У двох бригадах працює 46 робітників, причому у другій бригаді працює на 8 робітників більше, ніж у першій. Позначити через x кількість робітників у першій бригаді та скласти рівняння для знаходження цієї кількості.
3) Менше з двох чисел становить 30% від більшого, а їх різниця дорівнює 70. Більше з чисел позначили через x. Вказати рівняння, яке відповідає умові задачі.
а) x + 0,3x = 70; б) x – 0,3x = 70; в) x – 0,03x = 70.
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 457; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!