Тема 1. Лінійні рівняння з однією змінною
· Поняття про лінійні рівняння з однією змінною
· Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною
· Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь з однією змінною
Виклад теорії
Поняття про лінійне рівняння з однією змінною
При виконанні рівносильних перетворень рівнянь з метою їх спрощення у багатьох випадках отримують рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — деякі числа (5x = 4; –7x = 3; 0,1x = 4).
Зокрема, до рівнянь такого виду зводять розв’язування рівнянь, у яких обидві частини є лінійними виразами. Наприклад, рівняння 4x – 7 = 5x + 6;
3x – 4 = 2x; 7x = 6x – 2; 5x + 7 = 0.
Лінійним рівнянням з однією змінною називають рівняння виду ax = b, де x — змінна, a і b — числа.
Приклади.
1. 4x = 12; 
; 0,1x = 6 — лінійні рівняння зі змінною x.
2. 9y = 27, 
— лінійні рівняння зі змінною y.
Якщо у лінійному рівнянні ax = b коефіцієнт a ¹ 0, то рівняння ax = b називають рівнянням першого степеня.
Приклад.
4x = 12; 0,1x = 14; 
— рівняння першого степеня.
У лінійному рівнянні ax = b ліва та права частини є окремими випадками лінійних виразів.
Зауваження. У літературі лінійним рівнянням інколи називають рівняння виду ax + b = 0.
Розв’язування лінійних рівнянь
Якщо до лінійного рівняння першого степеня ax = b застосувати правило ділення рівняння на число, відмінне від нуля, одержимо рівносильне йому рівняння x = b : a або x = 
, яке має тільки один корінь — число 
. Число є єдиним коренем лінійного рівняння ax = b (a ¹ 0).
|
|
|
Приклад.
Коренем рівняння 3x = 2 є число 
.
Якщо в рівнянні ax + b = 0 (a ¹ 0) перенести доданок b у праву частину, то одержимо рівняння ax = –b. Оскільки a ¹ 0, то за правилом ділення на число, відмінне від нуля, одержимо рівняння x = 
, яке має єдиний корінь — число 
. Отже, коренем рівння ax + b = 0 (a ¹ 0) є число .
Приклад.
Коренем рівняння 3x + 2 = 0 є число 
.
Лінійне рівняння 0 · x = 0. Коренем лінійного рівняння 0 · x = 0 є будь-яке число, оскільки при будь-якому значенні x ліва частина рівняння дорівнює 0 і рівняння перетворюється у правильну числову рівність 0 = 0.
Лінійне рівняння 0 · x = с (c ¹ 0). Оскільки ліва частина рівняння при будь-якому значенні x дорівнює 0, а права частина — числу c, відмінному від 0, то не існує таких значень змінної x, при яких утвориться правильна числова рівність. Отже, лінійне рівняння виду 0 · x = с (c ¹ 0) не має коренів.
Рівняння 0 · x = 2; 0 · x = –0,4; 0 · x = 
не мають коренів.
Рівняння, що зводяться до лінійних рівнянь з однією змінною
Щоб звести рівняння вигляду ax + bx = c, де x — змінна, a, b і с — числа, до лінійного, потрібно звести подібні доданки у лівій частині.
Приклад.
–7x + 12x = 15; 5x = 15.
| Щоб звести рівняння вигляду ax + b = cx + d, де x — змінна, a, b, с і d — числа, до лінійного за правилами рівносильних перетворень, потрібно: |
· перенести доданок cx у ліву частину, помінявши його знак, а доданок b — у праву частину, помінявши його знак (одержимо
ax – cx = d – b);
|
|
|
· звести подібні доданки (одержимо (a – c)x = d – b).
Приклад.
15x – 3 = 8x + 39; 15x – 8x = 39 + 3; 7x = 42.
Щоб звести рівняння вигляду  , де x — змінна, a, b,с, m і n — числа, до лінійного за правилами рівносильних перетворень, потрібно:
|
· помножити обидві частини рівняння на добуток чисел a і b або на їх найменше спільне кратне;
· розкрити дужки у лівій частині рівняння та звести подібні доданки;
· перенести доданок, який не містить змінної, з лівої частини рівняння у праву.
Приклад.
. Помножимо обидві частини рівняння на 15 і розкриємо дужки: 
; 3(3x + 5) – 5(x + 1) = 15; 9x + 15 – 5x – 5 = 15; 4x + 10 = 15; 4x = 5; x = 5 : 4; x = 1,25.
За означенням модуля числа, якщо |x – a| = b, то x – a = b і x – a = –b. Тому рівняння виду |x – a| = b, де b > 0, рівносильне сукупності двох рівнянь x – a = b і x – a = –b. Отже, розв’язками даного рівняння є числа x1 = b + a, x2 = –b + a.
Приклад.
Рівняння |x – 4| = 10 рівносильне сукупності двох рівнянь x – 4 = 10 і
x – 4 = –10, тобто його корені дорівнюють x1 = 10 + 4 = 14, x2 = –10 + 4 = –6.
|
|
|
Рівняння виду |x – a| = b, де b < 0, не має коренів за означенням модуля, оскільки ліва частина рівняння при будь-яких значеннях x є невід’ємним числом, а права — від’ємним числом.
Приклад.
Рівняння |x + 5| = –3 не має коренів.
Рівняння виду |x – a| = 0 має один корінь x = a, оскільки рівняння перетворюється у правильну числову рівність тоді і тільки тоді, коли
x – a = 0.
Приклад.
|x – 3| = 0, x – 3 = 0, x = 3.
Початкове вивчення теорії
Навчальні завдання
Дата добавления: 2018-10-27; просмотров: 375; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!