Основна властивість цілих виразів зі змінними

Числові значення цілих виразів існують при будь-яких значеннях змінних.

Приклади.

1. Числові значення цілих виразів 5а; 9 – 5a; — існують при будь-яких дійсних значеннях змінної a.

2. Числові значення цілого виразу 7а + 3b — існують при підставлянні замість букв a і b будь-яких дійсних чисел.

3. Числове значення дробового виразу не існує, якщо а = 3, оскільки вираз не має смислу.

Цілий вираз, який при будь-яких значеннях змінних набуває одного і того ж числового значення, називають постійним. Цілий вираз, який при будь-яких значеннях змінних дорівнює 0, називають нульовим виразом,або нуль-виразом.

Приклади.

1. Значення виразу 0 · x + 5 при будь-яких значеннях змінної x дорівнює 0.

2. Значення виразів 0x, y – y, 0ab при будь-яких значеннях змінних дорівнює 0. Отже, 0x, y – y, 0ab — нульові вирази.

Основою обґрунтування тотожностей та виведення нових тотожностей є властивості додавання і множення дійсних чисел (переставна, сполучна, розподільна, властивості чисел 0 та 1). Рівності, що виражають ці властивості, називають основними тотожностями. При вивченні (дослідженні) алгебраїчних об’єктів вони виконують таку ж роль, як і аксіоми при вивченні геометричних фігур.

Тотожним перетворенням, або просто перетворенням виразу, називають його заміну тотожно рівним виразом.

Тотожні перетворення виразів виконують з метою спрощення виразів — зменшення числа дій або змінних у виразі. Заміна виразу спрощеним виразом дозволяє раціоналізувати, спростити обчислення його значень і вчиняти інші дії над ним.

Основними перетвореннями цілих виразів є розкриття дужок і зведення подібних доданків.

Приклади.

1. Розкрити дужки: .

Вирази і 4а + 5b є тотожно рівними.

2. Звести подібні доданки.

–2а + 5а = а × (–2 + 5) = а × 3 = 3а.

–9х – 14х = –23х.

Основні тотожності дозволяють виконувати і зворотні перетворення цілих виразів: вводити нові змінні, перетворювати числа, змінні у вирази, що містять дії.

Приклади.

1. Число 5 можна подати, наприклад, як вираз зі змінною: 5 + 0 × х.

Будь-яке число можна перетворити у вираз, що містить змінні. Тому окремі числа, вирази, які не містять знаків дій, також вважають виразами.

2. Вираз х можна замінити тотожно рівним виразом із двома змінними, наприклад, х + 0у.

Тотожні перетворення цілих виразів

Якщо рівність, яку утворюють два цілі вирази, перетворюється у правильну числову рівність при будь-якому значенні змінної або будь-яких наборах значень змінних, то її називають тотожністю. Вирази, які утворюють тотожність, називають тотожно рівними.

Приклади.

1. За розподільною властивістю множення рівність 3(a + 2) = 3a + 6 перетворюється у правильну числову рівність при будь-яких дійсних значеннях змінної a. Отже, рівність 3(a + 2) = 3a + 6 є тотожністю.

2. Рівність 2(x + y) = 2x + 2y при будь-яких значеннях змінної x і будь-яких значеннях змінної y перетворюється у правильну числову рівність. Наприклад, якщо x = 5 і y = 3. Матимемо: 2 · (5 + 3) = 2 · 5 + 2 · 3; 2 · 8 = 10 + 6; 16 = 16.

3. Рівність 0 · x + 5 = 5 є тотожністю, а вирази 0x + 5 і 5 тотожно рівними, оскільки 0 · x = 0 при будь-якому дійсному числі x, і 0 + 5 = 5.

4. За основними властивостями множення і додавання утворюють тотожність і є тотожно рівними вирази 0 · a + c і c.

Тотожно рівними можуть бути:

· два цілі вирази з однаковими змінними;

· цілий вираз зі змінною і число;

· два цілі вирази, що відрізняються змінними.

Приклади.

1. Рівність 3(а + 2) = 3a + 6 є тотожністю на основі розподільного закону множення. При заміні а будь-яким дійсним числом утворюється правильна числова рівність.

Наприклад, якщо а = 2, то рівність 3(2 + 2) = 3 × 2 + 6 є правильною (3 × 4 = 6 + 6; 12 = 12).

2. Тотожно рівними є вирази 7а – 14b і 7(а – 2b). При будь-яких значеннях змінних а і b рівність 7a – 14b = 7(а – 2b) перетворюється в правильну числову рівність.

3. Вираз 0 × а +5 зі змінною a тотожно рівний числу 5.

4. Вираз 0 × а + 0 × b зі змінними a і b тотожно рівний числу 0.

5. Рівність 0х + 2у = 2у є тотожністю, а вираз 0х + 2у зі змінними x та y тотожно рівний виразу 2у зі змінною y.

Початкове вивчення теорії

Навчальні завдання

Поняття про вирази

№8.

1. 1) Яка спільна назва у записів 5; 0,(7); х; 5а; а + 3; (х + у) × у?

2) Як називаються записи дій, які складаються з чисел, позначених за допомогою цифр чи букв?

3) Чи є виразами записи 0,(3); ; –9; а; у?

2. Серед виразів а)–е) вказати три, які…

1) не містять дії:

а) 8; б) 4а; в) –0,4;
г) ; д) х; е) а²;

2) містять дві дії:

а) ab + 3; б) аbc + 5; в) (x + y) × 4;
г) 2a; д) ; е) 4x + 3;

3) містять три дії:

а) 2х + 3; б) 2х + 5у; в) ;
г) ; д) а² + b²; е) 4a + 1;

3. Записати три вирази, які…

1) не містять знака дії;

2) містять букву й один знак дії;

3) містять дві різні букви і два знаки дії;

4) містять три дії.

№9.

1. 1) Яка спільна назва у записів 4; –9; 0,(3); 4 + 9; 4 × 9 – 3; ?

2) Як називають вирази, що містять числа, позначені тільки за допомогою цифр, і не містять буквених позначень чисел?

а) Цифровими; б) числовими; в) дійсними.

3) Чи вважають числовими виразами записи окремих чисел за допомогою цифр?

4) Як називають число, що одержують у результаті послідовного виконання всіх дій у числовому виразі?

5) Чим є число 7 для виразу 2 × 3 + 1?

6) Доповнити записи.

У числових виразах, що містять дії додавання, множення, віднімання і ділення та не містять дужок, спочатку виконують дії ____________________, а потім ____________________.

7) У виразі, що містить дві дії — додавання і множення — спочатку виконують дію множення.

8) У якому випадку а)–в) числовий вираз, складений за допомогою дій додавання, множення, віднімання і ділення, не має змісту (смислу)?

а) Коли він містить множення на число 0;

б) коли він містить ділення числа 0 на деяке дійсне число, відмінне від 0;

в) коли він містить ділення на число 0.

2. Серед виразів а)–в) вказати той, у якому дії виконують у порядку:

1) додавання; множення:

а) 7 + 2 × 3; б) 4 × (8 + 7); в) 6 × 9 + 1.

2) множення; віднімання:

а) ; б) (7 – 0,1) × 2; в) 7 – 0,1 × 2.

Вказати число, що є значенням виразу:

3) 5 + 2 × 3 = ...

а) 21; б) 11; в) 10.

4) 0,1 × (7 + 8) = ...

а) 150; б) 1,5; в) 8,7.

5) 7 – 4 × 0,2 = ...

а) 0,6; б) –1; в) 6,2.

6) Серед виразів а)–е) вказати три, що не мають смислу (змісту)?

а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .

3. 1) Записати три вирази, які не мають смислу.

Знайти значення числового виразу…

2) 18 – 3 × 0,2; 3) 19 × (0,3 + 0,2);

4) –27 : (5 – 5,9); 5) ;

6) .

№10.

1. 1) Як називають вираз, що містить хоча б одну букву?

2) Як називають у виразах букви, що позначають числа?

3) Як називають дійсні числа, які підставляють замість змінної у буквений вираз?

а) Значеннями виразу; б) значеннями змінної.

4) У який вираз перетворюється буквений вираз після підставлення замість букв їх числових значень?

5) Як називають число, що одержують у результаті виконання усіх дій після заміни букв числами?

Вказати, скільки змінних містить вираз:

6) 4 + 3 × 2; 7) 3а + 2;

8) 3а² + а – 3; 9) (4х – 3) × (х + 2);

10) (4а – 3) × (b + 2); 11) ab + 2c;

12) (m + 4) × (k + c);

2. Серед виразів а)–е) вказати:

1) три вирази з однією змінною:

а) 2a + b; б) х²+ 5х – 4; в) (a – 3)(b + 4);

г) 2с + 3; д) 3х + 4у – 7; е) (a – 3)(а + 4);

2) три вирази з двома змінними:

а) х²+ 7х – 3; б) m(m + n) – 3; в) (a + 3)(а + 5);

г) abc + 1; д) 3х + 3у – 2; е) a +2аb + 3b + 7;

3) три вирази з трьома змінними:

а) хyz – 3; б) 5x – 4x² + x³ – 7; в) (a + 2)(b – 2)(c + 3);

г) m(n + 1)(p + 2); д) х + xy + 3y – 4; е) a³ +2а² + a – 4.

Вказати вираз, у який перетворюється вираз:

4) 2а + 5, якщо значення змінної дорівнює 3:

а) 23 + 5; б) 2 × 3 + 5.

5) 3а + 4b, якщо а = 10 і b = 100:

а) 3 × 10 + 4 × 100; б) 30 + 400.

Знайти числове значення виразу:

6) 4х – 5, якщо х = 7:

а) 42; б) 23.

7) 3а + 7, якщо а = –9:

а) –32; б) –20.

8) 2а + 5b, якщо a = –3 і b = –4:

а) –77; б) –26; в) 26.

3. Записати три вирази:

1) зі змінною х;

2) зі змінними х та у;

3) зі змінними а і b.

Знайти числове значення виразу:

4) 5х – 3, якщо х = 2; х = 3; х = 0;

5) –3а + 4, якщо а = 4; а = –5; а = 0;

6) 5а – 7b, якщо a = 2 і b = 3; a = 0 і b = –4; a = –3 і b = 0.

Вказати послідовність виконання дій при обчисленні числових значень виразу:

7) 7 – 5a; 8) (a – 2)(а + 6); 9) 7(a – 3) +b;

10) 3а + 4b; 11) m + n (k – p); 12) (m + n) k – p.

№11.

1. Вказати у формулах 1–6...

а) вираз;

б) змінну (змінні) у виразі;

в) букву, що позначає вираз:

1) у = 5х + 2; 2) S = 10 × t; 3) S = v × t;

4) m = 2n + 1; 5) z = 2x + 3y + 1; 6) y = 4m + 3n – 5.

2. Вказати формулу, за якою обчислюють:

1) площу прямокутника S зі сторонами а і b:

а) S = 2(а + b); б) S = 2аb; в) S = аb;

2) площу квадрата S зі стороною а:

а) S = 4а; б) S = а²; в) S = 2а;

3) периметр Р квадрата зі стороною а:

а) Р = 4а; б) Р = 2а; в) Р = а²;

4) периметр Р рівностороннього трикутника зі стороною а:

а) Р = 2а; б) Р = 3а; в) Р = 4а.

n — натуральне число. Вказати формулу:

5) парного числа k:

а) k = 2n + 1; б) k = 2n; в) k = 2n – 1;

6) непарного числа p:

а) p = 2n; б) p = 2n – 1; в) p = 4n;

7) числа т, кратного 9:

а) т = 9 + n; б) т = 9n; в) т = 9n – 1;

8) числа с, кратного числам 2 і 3:

а) c = 23n; б) c = 6n; в) c = n + 6.

За формулою у = 3х вказати значення у, якщо:

9) х = 4:

а) 34; б) 12; в) 7;

10) х = –2:

а) 6; б) –32; в) –6;

11) х = :

а) ; б) ; в) ;

За формулою у = 5х + 2 вказати значення у, якщо:

12) х = 4:

а) 56; б) 22; в) 542;

13) х = –3:

а) –51; б) –17; в) –13;

14) х = 0,1:

а) 7,1; б) 2,5; в) 52.

3. Записати формулу (1–3):

1) парного числа р;

2) числа т, кратного 5;

3) числа с,кратного 7.

4) у = 4х – 3. Обчислити значення у, якщо: х = –9; х = ; х = 0,2.

5) у = –2х + 5. Обчислити значення у, якщо: х = 6; х = ; х = –0,4.

№12.

1. Назвати дію, яку слід виконувати першою при знаходженні значення виразу:

1) а × (b + c); 2) m + ab; 3) n – a : c;

4) (а – 2) : (b + 3); 5) (а + 2)(b + 3); 6) а + (b – c) × d.

Назвати дію, яку слід виконувати останньою при знаходженні значення виразу:

7) хy – z; 8) (x – y) z; 9) (a + b)c – d;

10) (а + b)(c – d); 11) m +(n – k) p; 12) (m + n – k) × p.

13) Доповнити запис.

У процесі словесного читання виразів першою називають дію, яку виконують ________________.

2. Серед виразів а)–е) вказати три, у яких останньою виконують...

1) дію додавання:

а) a + b × m; б) (a + b)× m; в) 3(a – 2) + 5;

г) 3a + 4; д) (a – b)(а + b); е) .

2) дію віднімання:

а) (a – 2)× 3; б) 5 – a × b; в) 3a – 2;

г) (a + 2)× 5 – 3; д) (a – 5)(а –3); е) (5 – a)× b.

3) дію множення:

а) a + b × c; б) (a + b) × c; в) ab + c;

г) 3x + 4; д) 5 × (а –3); е) (3x + 4)× y.

4) дію ділення:

а) a : (b + с); б) a : b + с; в) a – b : с;

г) x + y : 5; д) (a – b) : (а – c); е) (m + n) : p.

Серед виразів а)– е) вказати три, які називають...

5) сумою:

а) a + bc; б) 5(a + 3); в) 5 : (a + 3);

г) (a + 3)(а + 2); д) а + b; е) 5x + 2.

6) добутком:

а) ab + 1; б) ab; в) 4a – 3;

г) a(а + b); д) 2а +5; е) 4a.

7) різницею:

а) (x – y) × a; б) x – y; в) 10 – xy;

г) (a – b)(a + b); д) ab – c; е) (a – 2) : (a – 5).

8) часткою:

а) a : b + с; б) a : b; в) a : b – с;

г) a + b : c; д) a : (b – c); е) (a + b) : c.

3. Вказати порядок виконання дій у поданих виразах і прочитати вирази:

1) ab + с; 2) a : b + с; 3) a ×(b + с);

4) a : (b + с); 5) (a – b)× с; 6) a – bс;

7) a + bс; 8) (a + b) : (с + d); 9) (a + b) × (с + d).

Записати за допомогою букв, знаків дій і дужок вирази:

10) добуток суми чисел m і n і числа а;

11) добуток числа p ірізниці чисел а і с;

12) сума числа а ірізниці чисел m і k;

13) різниця числа а і добутку чисел с і d;

14) сума добутку чисел а і b і їх частки;

15) добуток різниці чисел m і n і їх суми.

Тренувальні вправи

№13.

Знайти значення виразу:

1. 1) 4а – 9, якщо а = –12; 2) 3а + 7, якщо а = –14;

3) –2а + 3, якщо а = –8; 4) –5а – 6, якщо а = 12;

2. 1) –2х + 0,3, якщо х = –0,2; 2) –0,1х + 2,6, якщо х = –8;

3) 0,4х + 2,5, якщо х = –3; 4) –0,7х – 3,2, якщо х = 8;

3. 1) b + , якщо b = ; 2) b – , якщо b = ;

3) b – , якщо b = ; 4) b – , якщо b = .

№14.

Знайти значення виразу:

1. 1) 2а + 3b, якщо а = 3, b = –2; 2) 3x + 4y, якщо x = 5, y = –6;

3) 3x – 5y, якщо x = –1, y = 4; 4) 4x + y, якщо x = 6, y = –9;

2. 1) 10x + 4y, якщо x = 4,2, y = 2,3; 2) 7a – 10b, якщо a = 2,3, b = –7,4;

3) a – 5c, якщо a = 2,3, c = –1,2; 4) 8a – b, якщо a = 0,4, b = –0,9;

3. 1) x + y, якщо x = –12, y = –14; 2) , якщо a = 3,6, b = 2,5;

3) x + y, якщо x = 12, y = –36; 4) , якщо a = –21, b = –56.

№15.

Записати у вигляді алгебраїчного виразу.

1. 1) Сума числа а та числа 5; 2) добуток числа т і числа 12;

3) різниця чисел т і p; 4) частка чисел х та у.

2. 1) Сума числа 10 та добутку чисел а і с;

2) різниця числа т та добутку чисел х та у;

3) сума добутку чисел х та у та числа 12;

4) різниця добутку чисел т і п та числа с.

3. 1) Добуток суми чисел а і с та числа b;

2) частка різниці чисел т і п та числа х;

3) добуток числа т та різниці чисел а і b;

4) частка числа 10 і суми чисел х та у.

4. 1) Добуток різниці чисел х та у і суми чисел a і b;

2) добуток різниці чисел т і п та суми цих чисел;

3) частка різниці чисел 10 і а та суми чисел 12 і с;

4) частка різниці чисел х та у і їх суми.

5. 1) Подвоєний добуток чисел х та у;

2) подвоєна сума чисел т і п;

3) подвоєна різниця чисел а і с;

4) потроєний добуток чисел т і р.

№16.

1. 1) Скільки секунд у t хвилинах?

2) Скільки хвилин у t годинах?

3) Скільки годин у t добах?

4) Скільки секунд у t годинах?

2. 1) Скільки дециметрів у п метрах?

2) Скільки сантиметрів у п метрах?

3) Скільки міліметрів у р метрах?

4) Скільки дециметрів у р кілометрах?

3. 1) Скільки грамів у т кілограмах?

2) Скільки кілограмів у р тоннах?

3) Скільки кілограмів у k центнерах?

4) Скільки грамів у т тоннах?

4. 1) Скільки одиниць у числі, в якого а десятків?

2) Скільки одиниць у числі, в якого а сотень?

3) Скільки всього одиниць у числі, що складається з а десятків і 7 одиниць ( — запис числа)?

3* А. Капіносов. Алгебра. 7 кл. Сист. курс

4) Скільки всього одиниць у числі, що складається з b десятків і 4 одиниць (

— запис числа)?

Поняття про цілі вирази

№17.

1. 1) Як називають вирази, до яких входять тільки арифметичні дії (додавання, множення, віднімання, ділення, записи добутків однакових множників у вигляді степеня)?

а) Арифметичними; б) дійсними; в) раціональними.

2) Серед виразів а)–в) вказати той, що не є раціональним.

а) х² – 3х + 4; б) ; в) .