Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

1º. Уравнения с разделёнными переменными

Рассмотрим ОДУ, записанное в дифференциальной форме

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,

когда функции M(x, y) и N(x, y) имеют специальный вид:

M(x, y) = M(x), N(x, y) = N(y).

Определение 1. Уравнение вида

M(x)dx + N(y)dy = 0, (1)

где M(x) и N(y) – непрерывные функции называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Замечание 1. Разделённость переменных заключается в том, что возле dx находится функция зависящая только от x, а возле dy — функция зависящая только от y.

Такие уравнения легко разрешимы. Так как неизвестная функция y зависит от x, то нужно сначала разделить уравнение на dx и взять неопределённый интеграл по x:

, или ,

где C — произвольная константа.

Таким образом, каждое слагаемое левой части можно интегрировать по своей переменной.

Пример 1. e^x dx– y dy= 0.

Это уравнение с разделёнными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения, получим

, или e^x – = C.

2º. Уравнение с разделяющимися переменными

Определение 2. Уравнение вида

M₁(x)N₁(y)dx + M₂(x)N₂(y)dy = 0 (2)

с непрерывными функциями M₁(x), M₂(x), N₁(y), N₂(y) называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Уравнение (2) сводится куравнению вида (1). Для этого выделяем те функции, которые мешают интегрированию — это N₁(y) окло dx и M₂(x) около dy. Разделим обе части уравнения на произведение N₁(y) M₂(x):

M₁(x)N₁(y)dx + M₂(x)N₂(y)dy = 0 | .

Врезультате получим уравнение с разделёнными переменными

Далее его нужно проинтегрировать, как в п. 1º.

Замечание 2. При преобразовании уравнения (2) мы дзелили на произведение N₁(y)M₂(x). Но это возможно, если N₁(y)M₂(x) ¹ 0.

Но, если функциянальные уравнения

N₁(y) = 0, M₂(x) = 0

имеют числовые решения, например,

N₁(y₀) = 0, M₂(x₀) = 0,

то постоянные функции y = y₀ и x₀ = x₀ также являются решениями уравнения (2). Чтобы эти решения не потерять нужно:

1) найти числовые решения уравнений N₁(y) = 0, M₂(x) = 0;

2) если их можно получить из общего решения при некоторойм значении постоянной С, то они входят в общее решение ДУ. В противном случае эти решения являются особыми решениями, их нужно добавить к общему решению уравнения (общему интегралу).

Пример 2. ydx – xdy = 0.

Разделим обе части уранения на произведение xy, при этом считаем, что x ¹ 0, y ¹ 0 (!).

Интегрируем

ln|x| – ln|y| = C.

Воспользуемся свойствами логарифма и изменим форму произвольной константы C= ln|C₁|, C₁ ¹ 0, получим

ln|x/y| = ln|C₁|, C₁ ¹ 0,

потенцируем и получаем общий интеграл

x/y = C₁, C₁ ¹ 0.

Вернёмся к числовым уравнениям (!). Они имеют решения:x = 0 и y = 0, причём можно убедиться, что эти функции являются решениями дифференциального уравнения. Проверим, входят ли они в общий интеграл.

Функция x = 0 не входит в общий интеграл. Расширяем множество значений произвольной константы C₁ Î(–µ, +µ) и добавляем функцию x = 0 в формулу общего интеграла.

Функция y = 0 не входит в общий интеграл. Её нужно дописать.

Вывод. Все решения описываются формулами

x/y = C, y = 0.

Пример 3. x(2 + y²)dx – y(2 + x²)dy = 0.

Делим уравнение на произведение (2 + y²)(2 + x²).

Считаем, что (2 + y²)(2 + x²) ¹ 0 (!).