Линейнае неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

1º. Основные понятия

Рассмотрим ЛНДУ 2-го порядка с пастаянными коэффициентами

y² + py¢ + qу = f(x),                                                        (1)

где f(x) — непрерывная на некотором промежутке функция.

Мы уже доказали, что чтобы найти общее решение ЛНДУ (1), надо найти общее решение соответствующего ЛОДУ и частное решение y_ч ЛНДУ (1) (теорема 1 §14).

Общее решение ЛОДУ мы разбирали в предыдущем параграфе.

Частное решение ЛНДУ (1) можно найти методом вариации произсвободных постоянных, но это часто достаточно трудно сделать.Если правая часть (1) имеет специальный вид, то частное решение ЛНДУ можно найти методом неопределённых коэффициентов.

Будем искать y_ч ЛНДУ с помощью следующей таблицы:

№ п/п Правая часть уравнения Корни характеристического уравнения Вид частного решения

І

P_m(x)
1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения

2. Число 0 – корень характерис-тического уравнения кратности s

II

P_m(x)e^a^x, a – действительноечисло
1. Число a не является корнем характеристического уравнения

2. Число a – корень характерис-тического уравнения кратности s

III

P_n(x)cosbx+

+Q_m(x)sinbx
1. Числа ±іb не являются корнями характеристического уравнения , k=max{m,n}

2. Числа ±іb являются корнями характеристического уравнения кратности s k=max{m, n}

IV

e^a^x(P_n(x)cosbx++Q_m(x)sinbx)
1. Числа a±іb не являются корнями характеристического уравнения , k=max{m, n}

2. Число a±іb являются корнями характеристического уравнения кратности s k=max{m, n}

где P_n(x), Q_m(x) – многочлены степени n и m, соответственно – многочлены от х степени k общего вида с неопределёнными коэф-фициентами (которые нужно будет найти), k=max{m, n}.

Приложение дифференциальных уравнений в физике. Свободные коллебания

1º. Задача аб свободных и вынужденных коллебаниях

Пусть тело массой m подвешано на пружине, верхний конец которой неподвижно закреплён

В состоянии равновесия вес mg тела уравновешивается силой упругости пружины.

По закону Гука эта сила пропорциональна длине s отрезка, на который растянулась пружина.

Тогда имеем равенство

mg = Cs,                                              (1)

где C — коэффициент пропорциональности.

Через тело вертикально вниз проведем ось Oy, и начало координат

y = 0 поместим в точку положения равновесия.

Выведем тело из положения равновесия, для этого оттянем тело вниз на определённое расстояне y = y₀.

Тело начнёт двигаться. Обозначим через y(t) отклонение от положения равновесия в момент времени t. Движение тела описывается функцией y = y(t).

Составим уравнение для нахождения этой функции.

В любой момент времени на тело воздействуют силы:

1) сила тяжести F₁ = mg, которая тянет вниз;

2) сила упругости пружины, направленная в сторону противоположную движению: F₂ = – C(s + y);

3) сила сопротивления среды, пропорциональная скорости движения и направленная противоположно скорости: F₃ = – ky¢,   где k — коэффициент пропорциональности.

Таким образом, на тело воздействует сила

F = F₁ + F₂ + F₃ = mg – C(s + y) – ky¢ = | используем (1) | =

= mg – Cs – Cy – ky¢ = – Cy – ky¢

Согласно второму закону Ньютона my² = F, отсюда

my² = – Cy – ky¢,                                           (2)

Если на тело кроме трёх сил воздействует ещё внешняя сила F_в(t), тогда уравнение (2) имеет вид my² = – Cy – ky¢ + F_в(t), и получаем уравнение

my² + ky¢ + Cy = F_в(t).                                   (3)

Замечание. Сила F_в(t) может не воздействовать непосредственно на тело. Например, если верхний конец пружины движется в вертикальном направлении по закону y = j(t), тогда и воздействует внешняя сила на тело.

Преобразуем уравнение (3) my² + ky¢ + Cy = F_в(t) |

.

Для удобства описания корней обозначим = 2p, = w². Тогда получаем уравнение

y² + 2py¢ + w²y = F_в(t)                                     (4)

Определение. ОДУ (4) называется дифференциальным уравнением вынужденных коллебаний в среде с сопротивлением.

Определение. Если слпротивления среды нет (p = 0), то уравнение (4) имеет вид

y² + w²y = F_в(t)                                      (5)

и называется уравнением вынужденных коллебанияўв среде без сопротивления.

Определение. Если внешняя сила отсутствует, уравнение (4) имеет вид

y² + 2py¢ + w²y =0                                              (6)

и называется дифференциальн уравнением свободных коллебанийв среде с сопротивлением.

Определение. Если внешняя сила отсутствует и слпротивления среды нет (p = 0), уравнение (4) имеет вид

y² + w²y =0                                               (7)

и называется дифференциальным уравнением свободных коллебанийв среде без сопротивления.

2º. Вольные коллебания в среде без сопротивления

Рассмотрим уравнение

y² + w²y =0                                               (7)

Это ЛОДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Чтобы найти решение, надо составить ХР l² + w² = 0, отсюда l_1,2 = ± iw.

Общее решение уравнения (7) имеет вид

y(t) = C₁cosw₁t + C₂sinw₁t.

Решение преобразуем следующим образом.

Сначала введём велечинуA = ,

C₁cosw₁t + C₂sinw₁t = A = Ä

Существует число (угол) a такой, что = sina, = cosa (см. рис.). Поэтому

Ä = A(sina cosw₁t + cosa sinw₁t) = Asin(w₁t + a).

Таким образом, имеем общее решение вида

y(t) = Asin(wt + a).                                               (8)

Величину A называют амплитудой коллебаний, величину w₁ — частотой, а величину a — начальной фазой.

Движение тела является периодическим (период ). График движения — синусоида. Коллебания называются вольными гармоническими.

3º. Вольные коллебания в среде с сопротивлением

Рассмотрим уравнение

y² + 2py¢ + w²y =0.                                             (6)

Строим ХР

l² + 2pl + w² = 0,                                                (9)

отсюда

.

Свойства корней зависят от соотношения между величинами p и w.

Рассмотрим три случая:

1) p < w,

2) p > w,

3) p = w.

1) p < w.

Неравенство азначает, что сила сопротивления среды незначительная в сравнении с упругостью пружины.

Обозначим , тогда корни ХР (9) имеют вид

l_1,2 = – p ± iw₁, а общее решение

y(t) = e^{– pt}(C₁cosw₁t + C₂sinw₁t).

Решение уравнения свободных коллебаний имеет вид

y(t) = Ae^{– pt}sin(w₁t + a).                                  (10)

Если t ® ¥, то y(t) ® 0.

Такие коллебания называются затухающими.

2) p > w.

Сопротивление среды значительное в сравнении с упругостью пружины.

Решения ХР (9) имеют вид .

Если , тогда l_1,2 = – p ± h, а уравнение свободных коллебаний имеет решение вида

y(t) = C₁e^{(–p + h)t} + C₂e^{(–p – h)t}.                              (11)

Если t ® ¥, то y(t) ® 0 и коллебаний практически нет. Движение называется опериодическим.

3) p = w.

Сопротивление среды сравненимо с упругостью пружины.

Корни ХР равны между собой l_1,2 = – p. Решение дифференциального уравнения имеет вид

y(t) = C₁e^–^pt + C₂te^–^pt.                                      (12)

Графически изображение аналагично предыдущему, но возможны единичные движения через горизонтальную ось.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 363; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 6 7 8 91011 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!

№ п/п	Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
І	P_m(x)	1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения
І	P_m(x)	2. Число 0 – корень характерис-тического уравнения кратности s
II	P_m(x)e^a^x, a – действительноечисло	1. Число a не является корнем характеристического уравнения
II	P_m(x)e^a^x, a – действительноечисло	2. Число a – корень характерис-тического уравнения кратности s
III	P_n(x)cosbx+ +Q_m(x)sinbx	1. Числа ±іb не являются корнями характеристического уравнения	, k=max{m,n}
III	P_n(x)cosbx+ +Q_m(x)sinbx	2. Числа ±іb являются корнями характеристического уравнения кратности s	k=max{m, n}
IV	e^a^x(P_n(x)cosbx++Q_m(x)sinbx)	1. Числа a±іb не являются корнями характеристического уравнения	, k=max{m, n}
IV	e^a^x(P_n(x)cosbx++Q_m(x)sinbx)	2. Число a±іb являются корнями характеристического уравнения кратности s	k=max{m, n}