Также рассматривают эквивалентные уравнения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 11Следующая ⇒

	dy-f(x,y)dx=0,	(3)
	M(x,y)dx+N(x,y)dy=0.	(4)

Заметим, что уравнение (4) получается из (3), если (3) умножить на некоторую функцию N(x,y)¹0. Будем считать, что коэффициенты M(x,y) и N(x,y) являются функциями, непрерывными в некоторой области. От уравнений (2) и (2') можно всегда перейти к (4) и наоборот.

Говорят, что если дифференциальные уравнения имеют вид (4), то они заданы в дифференциальной форме.

Рассматривают и уравнения в симметричной форме:

(3')

В случае, когда правая часть уравнения (2) не содержит у, то получаем дифференциальное уравнение вида:

(5)

Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке I, то любая первообразная функции f(x) на I является решением уравнения (5) и других решений нет.

Из мат. анализа известно, что при любом x₀ÎI и произвольной постоянной С все первообразные содержатся в формуле

у(х)=

(6)

и поэтму решение уравнения (5) имеет вид (6).

Замечание. Если в качестве первообразной взять , то решение можно записать в виде

y(x)=

(7)

где под символом неабходимо понимать не множество всех перво-образных функций f(x), а одну какую-либо фиксированную первообразную этой функции.

Таким образом, ДУ первого порядка (5) имеет бесконечно много решений вида

у= (х,С).

(8)

Решение вида (8) называют общим решением уравнения (5).

Далее покажим, что для уравнения (2) при довольно общих рассуждениях относительно функции f(x,y) существует бясконое множество решений

у= (х,С),

(9)

где С – произвольная постоянная из некоторой области изменения (С), которое называют общим решением уравнения (2).

Решение, которое получено из общего решения (9) при конкретном значении С называется частным решением.

Решение, которое нельзя получить из общего решения ни при каком значении С, называют особым решением.

Соотношение вида Ф(x,y,C)=0, которое неявно определяет общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения первого порядка (2).

Пример 1. Показать, что функция у²-х²-Су=0 является общим решением дифференциального уравнения у'(х²+у²) -2ху=0.

Решение.Найдём производную по х данной функции, заданой неявно. Таким образом получим:

2уу'-2х-Су'=0, у'(2у-С)=2х,

Из уравнения у²-х²-Су=0 находим С= (у²-х²)/у. Подставим значение С в формулу для вычисления у':

Тогда из уравнения у'(х²+у²) -2ху=0 и формулы для вычисления у' получим:

Таким образом, функция, заданная неявно у²-х²-Су=0, и зависящая от одной произвольной постоянной С, является решением дифференциального уравнения, т.е. является общим решением данного уравнения.

Пример 2.Найти дифференциальное уравнение семейства кривых у=Сх³.

Решение. Найдём производную данной функции, получим у'=3Сх². Т.к. у=Сх³, то С=у/х³. Таким образом, находим дифференциальное уравнение

Часто требуется найти только решения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям, например, найти решение уравнения (2) у=у(х), для которого у₀=у(х₀), где х₀ и у₀ заданные числа, называемые начальными значениями, условие у(х₀)=у₀ – начальное условие. Такая задача имеет специальное название – задачи Коши, т.е. задача Коши – это система, состоящая из ДУ и начального условия .

С геометрической точки зрения задача Коши означает: найти интегральную кривую, которая проходт через данную точку (х₀,у₀).

Пример 3.На плоскости хOу найти кривую, которая в каждой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен удвоенной абсциссе точки касания.

Решение.Пусть у(х) – функция, графиком которой является искомая кривая. Известно, что угловой коэффициент касательной в точке М(х,у(х)) равен у'(х), с учётом условия задачи он равен 2х, то есть у'(х)=2х. Отсюда следует, что искомая функция является решением дифференциального уравнения у'=2х. Найдём интеграл этого уравнения. Множество всех решений дифференциального уравнения у'=2х является множеством всех первообразных для функции 2х, поэтому оно задается следующей формулой: у=х²+С, где С – произвольная постоянная. Графиком этих решений будут параболы. Их целое семейство. Задача решена. Выделим теперь из полученного семейства ту параболу, которая праходит через точку (1;2). Будем считать, что х=1, у=2. Тогда получим: 2=1+С, С=1. Значение С=1, которое нашли, падставим в уравнение у=х²+С. Таким образом получим, что у=х²+1 – уравнение искомой параболы.

Замечание.Мы рассмотрели одну геометрическую задачу, которая приводит к ДУ.

Возникает вопрос: при каких условиях задача Коши имеет решение и когда такое решение только одно.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 227; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!