Метод гармонической линеаризации. Характеристика метода.
Метод используется для исследования нелинейных систем, описываемых дифференциальными уравнениями различного порядка. Эффективен для расчета параметров собственных колебаний в системе, используется также для анализа точности при гармоническом задающем воздействии.
Рассмотрим метод применительно к расчету параметров собственных колебаний в нелинейной системе.
Разделим систему на линейную часть и нелинейное звено (рис.8.17).
Рис.8.17. Модель нелинейной системы
Уравнение линейной части:
, (8.17)
При возникновении автоколебаний процесс 
на выходе линейной части не является строго гармоническим, но мы будем полагать, что линейное звено является фильтром нижних частот и подавляет все гармоники, за исключением первой. Это предположение называется гипотезой фильтра. Если она не подтверждается, то ошибки при применении гармонической линеаризации могут быть значительными.
.
Пусть
; 
. (8.18)
Представим 
в виде ряда Фурье:
;(8.19)
Полагаем, что
.
Это справедливо, если 
симметрична относительно начала координат и отсутствует внешнее воздействие. Полагая, что высшие гармоники подавляются, будем искать только 
и 
Из уравнения (8.18) находим:
; 
. (8.20)
Подставив (8.20) в (8.19) и ограничив ряд слагаемыми первой гармоники, получим:
|
|
|
(8.21)
где
(8.22)
Таким образом, нелинейное уравнение для заменили приближенным линейным уравнением (8.21) для первой гармоники.
и 
называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Коэффициенты и в рассматриваемом случае зависят от амплитуды, при более сложной нелинейной зависимости зависят еще и от частоты.
Рассчитанные значения коэффициентов гармонической линеаризации для типовых нелинейностей можно найти в учебниках и справочной литературе.
Передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в следующем виде:
; 
;
где 
─ эквивалентная передаточная функция нелинейно- го звена.
Частотная передаточная функция разомкнутой системы
.
Характеристическое уравнение
.
Модуль частотной передаточной функции нелинейного звена
.
Фазочастотная характеристика
; ( 
)
Модуль определяет отношение амплитуд, а 
фазовый сдвиг на выходе относительно входного сигнала.
Если симметрична относительно начала координат, однозначна и не имеет гистерезиса, то 
и тогда
.
Часто при анализе используется величина обратная 
. Она называется гармоническим импедансом нелинейного звена:
|
|
|
.
Использование метода гармонической линеаризации для расчета параметров собственных колебаний в системе.
В соответствии с критерием Найквиста строится годограф частотной передаточной функции разомкнутой системы
Условием возникновения в системе колебаний является прохождение амплитудно-фазовой характеристики через точку (-1,j0) комплексной плоскости. Для определения условий прохождения годографа через эту точку приравняем
.
Чтобы решить это уравнение можно, задавая значение амплитуды, строить амплитудно-фазовую характеристику(рис. 8.18)Значение амплитуды а=А, при которой АФХ пройдет через точку (-1,j0) будет соответствовать амплитуде собственных колебаний. Значение частоты определяют по частоте в точке (-1,j0).
Рис. 8.18. Амплитудно-фазовая характеристика нелинейной системы
Тогда искомое колебание
.
При нелинейной зависимости вида передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в виде
. (8.23)
Рис.8.19. Графический метод решения уравнения (8.23)
Это уравнение решается графическим методом (рис.8.19).
Строим амплитудно-фазовую характеристику линейного звена и кривую импеданса нелинейного звена. Определяем точку пересечения. Частоту 
определим по АФХ линейного звена в точке пересечения. Амплитуду А определим по кривой импеданса нелинейного звена.
|
|
|
Чтобы определить являются ли колебания устойчивыми автоколебаниями, нужно задать приращение амплитуды 
; при этом точка на импедансе смещается влево вниз. Это будет соответствовать уменьшению 
, следовательно, кривая годографа ПФ разомкнутой системы не будет охватывать точку с координатами 
. Поэтому амплитуда колебаний начнет уменьшаться, и система вернется в исходное состояние. То же будет и при отрицательном приращении.
Критерий устойчивости периодического режима сводится к тому, чтобы часть кривой 
соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась амплитудно-фазовой характеристикой линейной части.
Условие устойчивости равновесного состояния (отсутствия автоколебаний): при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывает годограф .
Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 336; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!