Типы особых точек. Пример использования метода для определения условий вхождения следящей системы в синхронизм.

корни характеристического уравнения имеют отрицательную действительную часть, это соответствует затухающему процессу.

;

;
для этих условий фазовая плоскость имеет вид спирали, которая закручивается.

Особая точка – устойчивый фокус.

2) величина с увеличением t увеличивается.

Раскручивающаяся спираль. Особая точка – неустойчивый фокус.

корни характеристического уравнения в зависимости от знака . Если корни отрицательные, то особая точка имеет вид устойчивого узла.

Устойчивый узел. Неустойчивый узел.

Если корни положительные, то особая точка – неустойчивый узел.

корни имеют разные знаки и особая точка называется седлом.

Седло.

Определим особые точки. Далее наносим изоклины – геометрическое место точек в которых касательные к фазовой траектории имеют постоянный наклон.

Уравнение изоклины:

;

для горизонтальных касательных уравнение изоклины:

;
для вертикальных:
;

Ось абсцисс – изоклина фазовой траектории. В каждой ее точке касательные вертикальны. Для особых точек узел и седло существуют изоклины, совпадающие с фазовыми траекториями ( ). Они называются сепаратрисами.

Определим вхождение системы в синхронизм.

Если ошибка ;

;
;

обозначим: ; .

;

если , то система войдет в режим синхронизма, точка устойчивого равновесия - ??? (ошибка в установившемся режиме равна нулю).

Если , система не войдет в синхронизм ни при каких начальных условиях.

Если , система войдет в синхронизм если .

Особые точки (1) и (2).

(1) – неустойчивая особая точка.

(2) – устойчивая особая точка.

Чтобы найти эти особые точки нужно решить уравнение:
.

Мы получим два корня.

Метод фазовых плоскостей используется для систем, описываемых ДУ не выше второго порядка.

Метод статистической линеаризации.

Основан на замене нелинейного элемента статистически эквивалентным ему линейным элементом.

В итоге ДУ описывающее поведение системы линеаризуется. Это помогает упростить анализ системы, т.к. в этом случае можно использовать методы анализа линейных систем.

Т.к. замена нелинейного элемента на линейный является операцией приближенной, то эквивалентность можно рассматривать лишь в некотором смысле. Поэтому не существует однозначной эквивалентности, т.е. можно использовать различные критерии эквивалентности.

В частности, если нелинейность определяется безинерционной зависимостью вида (1) , используется два критерия эквивалентности:

1 – предполагает равенство на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента МОЖ и процессов.

2 – критерий предполагает минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного элемента и его линейного эквивалента.

Для того, чтобы определить линейный эквивалент, надо определить коэффициент передачи линейного элемента. Для этого процесс на входе и выходе нелинейного элемента представим в виде:

(2);

(3);

- МОЖ

- центрированная случайная составляющая.

Процесс на выходе линейного элемента представлен в следующем виде:

(4);

- коэффициент передачи линейного эквивалента по МОЖ.

- коэффициент передачи по центрированной случайной составляющей.

воспользуемся первым критерием:

;

- плотность вероятности процесса на входе нелинейного элемента.

- коэффициент передачи по первому критерию.

Второй критерий эквивалентности:

;

;
Отсюда и при которых выполняется критерий эквивалентности. Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

;

;
;

;

;
при расчете этих коэффициентов полагают, что распределение на входе нормальное:
;
Тогда величины ; ;
если процесс на входе стационарен ( ), то мы можем определить эти коэффициенты для типовых нелинейностей и анализировать систему линейным образом.