Анализ устойчивости с помощью алгебраических критериев.

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 24Следующая ⇒

Алгебраические критерии устойчивости состоят в использовании коэффициентов характеристического уравнения. Если для систем 1-го и 2-го порядка (порядок не превышает 2(характеристического уравнения)) все коэффициенты > 0, то система является устойчивой.

>0; ;

Для это условие является необходимым, но не достаточным. В этом случае из коэффициентов характеристического уравнения составляем матрицу Гурвица, например для n=5.

Правило: по главной диагонали записывают коэффициенты от до . Затем в строках

записывают коэффициенты в порядке возрастания индексов. Если индекс > n и <0 , то в строке ставят 0. После составления матрицы вычисляют определители Гурвица.

; ; и т.д. , .

При этом,

Если > 0 то определяется .

Необходимым и достаточным условием является положительность всех определителей Гурвица. Если хотя бы один из них отрицательный – система не устойчива. Система находиться на границе устойчивости, если n-й определитель равен 0, в этом случае мы можем уменьшив ( ) обеспечив устойчивость.

Плюс метода: простота.

Минус метода: метод не отвечает как обеспечить устойчивость (как изменить параметры системы, для обеспечения устойчивости); нельзя определить запас устойчивости.

Этот метод можно применять для замкнутых систем.

Частотные критерии устойчивости (Найквиста и Михайлова).

К ним относятся критерий Михайлова и Найквиста, исследование по ЛАЧХ.

Критерий Михайлова

Исследуется характеристический комплекс замкнутой системы. Его можно определить следующим образом:

- ДУ

, - характеристическое уравнение.

;

Заменим S на и получим характеристический комплекс:

(1).

Характеристический комплекс образуется приравниванием знаменателя ПФ замкнутой системы к 0 и заменой р на . Характеристический комплекс это вектор. Критерий основан на исследовании аргумента характеристического комплекса.

При изменении от до угол поворота этого вектора приобретает приращение. Угол приращения определяется порядком и устойчивостью системы. Если при изменении от до то система является устойчивой. Если < то система неустойчива. Практически: разделим характеристический комплекс на действительную и мнимую части, действительная содержит четные номера.

Пусть n=6:

Мнимая:

Очевидно, что характеристический комплекс при определении его 1/n с изменяющеюся частотой. А в общем конец вектора прочерчивает кривую называемую годографом:

- содержит четные степени. При изменении система будет устойчива, если и не устойчива, если .

Критерий: если годограф характеристического комплекса при изменении от 0 до последовательно проходит n квадрантов, система является устойчивой; если последовательность нарушается, то система не устойчива.

Если годограф проходит через ноль координатной плоскости система находится на границе устойчивости.

Находим значения частот при которых Im XK = 0 ; и последовательно подставим эти частоты в Re XK. Если эти корни перемежаются для Im Re: действительная часть последовательно меняет свой знак, то система устойчива; если не перемежаются, то система неустойчива.

при росте .

Поскольку в замкнутой системе все передаточные функции имеют один и тот же знаменатель, то для определения устойчивости можно взять любую переходную функцию.

Когда ( ), то при каком-то годограф может пройти через ноль координатной плоскости из-за сдвига вправо.

Поэтому А (смотри Рис.) определяет запас устойчивости по ???.

Критерий Найквиста

Основан на исследовании ПФ разомкнутой системы.

Если годограф частотной ПФ разомкнутой системы, устойчивой в разомкнутом состоянии не охватывает точку с координатами (-1;0j) , то система является устойчивой (при изменении от 0 до ) в замкнутой системе; если охватывает, система неустойчива в замкнутом состоянии. Если годограф проходит через координаты (-1;0j) , то система на границе устойчивости.

Для некоторых систем годограф может уходить в «бесконечность». Тогда чтобы использовать правило, из точки на Re оси радиус до пересечения с годографом.

Это делают для того, чтобы: проведя векторы из точки к годографу, и если при изменении частоты полное приращение угла поворота равно 0, то годограф не охватывает точку.

Если кривая проходит через (-1;0j) ; то на какой-то частоте, =1 и сдвиг по фазе = . Если мы теперь замкнём ??? (еще на сдвиг), то мы получим условие генерации.