Передаточная функция следящей системы. Переходная и весовая функции.

Переходной функцией называют реакцию системы на ступенчатую единичную функцию:

Переходная функция используется при исследовании переходных режимов систем. Переходная характеристика – графическое изображение передаточной функции.

Устойчивые системы

Неустойчивые системы

Переходная характеристика может быть найдена аналитически:

, где W(p) – операторный коэффициент передачи.

Перейдя в область изображений по Лапласу, мы получим следующие выражения:

Весовая функция (импульсная характеристика) – реакция системы на воздействие в виде δ-функции:

- фильтрующее свойство.

Весовая функция обозначается как h(t):

Переходя в область изображений, мы получим следующие выражения:

Весовая и передаточная функции связаны преобразование Лапласа.

Весовая функция используется для определения выходной величины с помощью интеграла Дюамеля. Интеграл Дюамеля записывается следующим образом:

(*)

Т.к. существует условие физической реализуемости: функция появляется не раньше воздействия. Соответственно:

, при t<0.

Тогда можно записать следующее:

Для определения установившегося значения можно полагать, что воздействие началось в момент :

Существую частные методы исследования системы с использованием частной передаточной функции и частотно-логарифмической характеристики.

Частотная функция определяет реакцию системы на гармоническое входное воздействие.

Частная передаточная функция – это отклонение комплексных амплитуд входных и выходных величин.

W(jω) можно получить формально из W(s), заменой s на jω.

Тогда W(jω)можно записать в виде:

Часто обозначают:

Графическое изображение W(jω) на комплексной плоскости называется амплитудно-фазовой характеристикой:

– АЧХ.

АЧХ – зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты, при неизменной амплитуде входного сигнала.

Выражение для ФЧХ записывается:

ФЧХ – определяет зависимость фазового запаздывания выходного сигнала по отношению к входному от частоты. Она симметрично относительно начала координат.

Годограф – кривая, прочерчиваемая концом вектора, при изменении частоты ω на промежутке ( ).

Частотная передаточная функция. АФЧХ.

Частотная передаточная функция (комплексный коэффициент передачи) определяет реакцию системы на гармоническое входное воздействие и используется для анализа следящих систем. Ее можно найти, используя ДУ (3.1), если полагать, что – гармоническое воздействие в комплексной форме определяется выражением

, (3.5)

где - комплексная амплитуда.

Будем искать частное решение неоднородного ДУ (1) в виде:

, (3.6) где . Подставляя (3.5), (3.6) в (3.1) и учитывая, что , получим:

где ─ частотная передаточная функция (комплексный коэффициент передачи).

Частная передаточная функция – это отношение комплексных амплитуд входных и выходных гармонических воздействий при нулевых начальных условиях.

W(jω) можно получить формально из W(s), заменой s на jω.

W(jω)можно представить а показательной и алгебраической форме:

- модуль частотной передаточной функции.

W(jω) на комплексной плоскости изображается в виде вектора. При изменении частоты в интервале ( ) конец вектора прочерчивает кривую, называемую амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Амплитудно-фазовая характеристика

– (АЧХ).

АЧХ – зависимость амплитуды выходного сигнала от частоты при неизменной амплитуде входного сигнала.

─ ФЧХ

ФЧХ определяет зависимость фазового сдвига выходного сигнала относительно входного от частоты. Она симметрично относительно начала координат.

Годограф – кривая, прочерчиваемая концом вектора, при изменении частоты ω в интервале ( ).

ЛЧХ. Примеры построения.

Наиболее удобный для синтеза метод – метод с использованием логарифмических частотных характеристик. Метод состоит в графическом построении АЧХ и ФЧХ в логарифмическом масштабе. Особенно удобен метод, использующий асимптотический ЛАЧХ. Для некоторых систем, достаточно строить лишь ЛАХ. Для таких систем полиномы числителя и знаменателя имеют с отрицательной вещественной частью.

, где P(jω) = 0; Q(jω) = 0.

Метод построения асимптотических ЛАХ:

Пример построения асимптотических ЛАХ.

где Т₁, Т₂, Т₃ – постоянные времени соответствующих звеньев; К – коэффициент усиления или добротность (имеет размерность частоты).

А(ω) – модуль для последовательно включенных звеньев. Определяется как произведение модулей; а фаза – как сумма.

обычно полагают, что , мы же возьмем Т₁ > Т₂, > Т₃.

Обозначим – сопрягающая частота;

;

При построении асимптоты ЛАХ используется следующее правило:

Если , то Если , то

При этом, в точке сопряжения ошибка порядка несколько дБ.

Асимптотическая ЛАХ для n последовательно включенных звеньев составляет n+1 асимптоту, каждая из которых строится в диапазоне частот:

1ая:

2ая:

… … … … …

n+1:

Построим L(ω).

1ая асимптота ( ):

при ω = K, L(ω) = 0;

Наклон асимптоты будет равен –20 дБ на декаду.

2ая асимптота ( ):

Наклон асимптоты будет равен –40 дБ на декаду.

3ья асимптота ( ):

Это уравнение прямой, проходящей через точки L₂(ω) и L₃(ω).

Где

Т.о. можно записать:

В точке L₂ асимптота изменяет свой наклон на +20 дБ, итоговый наклон третьей асимптоты составляет –20 дБ.

4ая асимптота ( ):

Т.е. при переходе через сопрягающую частоту ω₃ асимптота меняет свой наклон на –20 дБ, и в итоге 4ая асимптота наклонена на –40 дБ.

При переходе через очередное значение сопрягающей частоты наклон изменяется на +20 дБ, если множитель типа находится в числителе модуля передаточной функции, и изменяется на –20 дБ, если этот множитель находиться в знаменателе. Наклон асимптоты кратен 20 дБ на декаду. По ЛАЧХ можно восстановить частотную передаточную функцию. ЛАЧХ широко используется как при анализе, так и при синтезе.

Дата добавления: 2018-08-06; просмотров: 773; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!