Законы распределения функций двух случайных аргументов. Числовые характеристики
Пусть случайная величина Z является функцией двух случайных величин, образующих систему (Х, У), т.е. . Для непрерывной системы (Х,У) с известной плотностью распределения вероятностей , закон распределения Z следует определять, начиная с построения интегральной функции :
, (7.2)
величина z содержится в этом выражении неявно в пределах интегрирования.
Плотность распределения Z можно найти, дифференцируя G(z)по z:
. (7.3)
При известном законе распределения случайной величины Z ее числовые характеристики можно вычислить по обычным правилам, но можно их определить и не прибегая к нахождению закона распределения Z.
Для дискретных Х и Y:
; . (7.4)
Для непрерывных Х и Y:
;
. (7.5)
Пример 7.7. Система (Х1,Х2) задана плотностью распределения ; величина Z есть произведение случайных величин и ; . Найти плотность распределения величины Z.
4 Графиком функции является гипербола . (Рис. 7.1).
Функция распределения имеет вид:
+ .
Дифференцируя по z, получим:
. 3
Пример 7.8.Система (Х,У) задана законом распределения
Х\У | 0 | 1 | 2 | 3 |
-1 | 0,01 | 0,06 | 0,05 | 0,04 |
0 | 0,04 | 0,24 | 0,15 | 0,07 |
1 | 0,05 | 0,10 | 0,10 | 0,09 |
Найти закон распределения случайной величины Z =Х+У.
4 Находим значения xi+yj: -1, 0, 1, 2, 0, 1,2 , 3, 1, 2, 3, 4. Объединяя одинаковые и располагая их в порядке возрастания, получим возможные значения Z : –1, 0, 1, 2, 3, 4. Вычисляем соответствующие вероятности: ;
|
|
; и т.д.
Z | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P | 0,01 | 0,1 | 0,34 | 0,29 | 0,17 | 0,09 |
Искомый закон распределения Z имеет вид:
Контроль: 0,01+0,1+0,34+0,29+0,17+0,09=1. 3
Пример 7.9.Система (Х,У) задана плотностью распределения , где . Вычислить числовые характеристики и случайной величины .
4 Воспользуемся формулами (7.5)
Получим: =
= = = = ,
. 3
Пример 7.10. Система (Х, У) задана законом распределения
Х\У | 1 | 2 |
0 | 0,3 | 0,1 |
1 | 0,2 | 0,4 |
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
4 Не определяя закон распределения случайной величины Z, воспользуемся формулами
=
=
3
Теоремы о числовых характеристиках и их применение
Процесс вычисления числовых характеристик функций случайных аргументов значительно упрощается, если использовать теоремі о свойствах числовых характеристик, особенно в тех случаях, когда функции – линейны.
Теоремы о математических ожиданиях.
1.
2.
3.
4.
5. Если случайные величины независимы, то
Теоремы о дисперсиях
1.
2.
3. , где - корреляционный момент пары случайных величин и .
4.
Пример 7.11. Случайная величина Х – число автомобилей, реализуемых в течение одного дня автомобильным салоном, задана законом распределения
|
|
Х | 1 | 2 | 4 | 5 |
Р | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Номинальная стоимость одного автомобиля 3тыс. усл. ед. и за каждый день салон имеет 0,2 тыс. усл. ед. прибыли за счет дополнительных услуг. Указать среднюю выручку, получаемую салоном ежедневно и ее разброс.
4 Ежедневная выручка автомобильного салона есть случайная величина , и для решения задачи требуется определить и . Вначале найдем числовые характеристики Х:
- в среднем продается 2 автомобиля в день; ,
-разброс продажи составляет 1 автомобиль в день.
На основании теорем о числовых характеристиках будем иметь:
тыс.усл.ден.ед. – средняя ежедневная выручка; тыс.усл.ден.ед. – разброс от средней выручки. 3
Пример 7.12. Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
4 Функция представляет собой плотность показательного закона распределения, а это значит, что и . Тогда согласно теоремам о числовых характеристиках и . 3
Пример 7.13.Случайные величины Х и У, характеризующие соответственно расширение ассортимента выпускаемой продукции и изменение ее качества, заданы своими числовыми характеристиками Вычислить числовые характеристики и случайной величины , характеризующей колебания прибыли предприятия.
|
|
4 Согласно теоремам о числовых характеристиках, будем иметь:
; . 3
Пример 7.14. Плотности распределения вероятностей независимых случайных величин Х и У заданы формулами:
.
Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
4 Случайная величина Х распределена равномерно в интервале , это значит, что Случайная величина У подчинена показательному закону распределения, следовательно . Так как Х и У независимы, то и согласно теоремам о числовых характеристиках, получим
; . 3
Задачи
7.1. Случайная величина Х задана законом распределения
хi | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
pi | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Составить закон распределения случайной величины У=X вычислить
Ответ:
Y | 0 | 1 | 4 | |
P | 0,3 | 0,5 | 0,2 | s =1,45 |
Система (Х,У) задана законом распределения:
Хi\Уi | -2 | -1 | 0 |
-1 | 0,1 | 0,05 | 0,1 |
0 | 0,15 | 0,1 | 0,2 |
1 | 0,15 | 0,05 | 0,1 |
Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины : а) Z=X+Y; б) Z=XY; в) Z=2X-3Y; г) .
Ответ: а) б)
|
|
; s =1,07. ;
в) г)
7.2. Случайная величина Х задана плотностью вероятности . Найти математическое ожидание случайной величины .
Ответ: М=1.
7.3. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
Ответ: Р(Y≤4)=0,4
7.4. В партии из 10 деталей содержится 4 нестандартных. Наугад отобраны 2 детали. Записать законы распределения случайных величин Х={число стандартных деталей среди отобранных} и .
Ответ:
Х | 0 | 1 | 2 |
Р | 2/15 | 8/15 | 5/15 |
У | 1/3 | 1/2 | 1 |
Р | 5/15 | 8/15 | 2/15 |
,
Случайная величина Х задана плотностью распределения:
.
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины .
Ответ:
7.5. Случайная величина Х задана функцией распределения .Найти плотность распределения g(y) случайной величины .
Ответ:
7.6. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины Y=sinX, если случайная величина Х задана законом распределения:
xi | -p | -p/2 | 0 | p/2 |
pi | 0,1 | 0,3 | 0,4 | 0,2 |
Ответ:
7.7. Партия из 10 деталей содержит 8 стандартных. Наугад отобраны 2 детали. Составить законы распределения случайной величины Х={число стандартных деталей среди двух отобранных} и случайной величины . Определить вероятность того, что Y>4.
Ответ:
Х | 0 | 1 | 2 |
Р | 1/45 | 16/45 | 28/45 |
У | 3 | 4 | 5 |
Р | 1/45 | 16/45 | 28/45 |
Р(Y>4)=28/45.
7.8. Найти математическое ожидание случайной величины Y=eX, если случайная величина Х задана функцией распределения:
.
Ответ: М= 0,5( е +1 ).
7.9. Дискретная случайная величина Х имеет возможные значения Х={-2,0,3}. Известно, что математическое ожидание величины Х равно 1.0; а дисперсия равна 1.4. Найти законы распределения случайной величины Х и случайной величины Y=X2.
Ответ:
Х | -2 | 0 | 3 |
Р | 1/130 | 85/130 | 44/130 |
У | 0 | 3 | 4 |
Р | 85/130 | 44/130 | 1/130 |
7.12. Дана плотность вероятности случайной величины: . Найти коэффициент а и плотность вероятности случайной величиной Y= eX .
Ответ: а= 2;
7.13. Случайная величина Х задана функцией распределения Рэлея: .Найти плотность распределения случайной величины Y=eX.
Ответ:
7.14. Партия из 5 изделий проверяется на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.8. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х={число стандартных изделий в партии}, а также математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=3X-1.
Ответ:
7.15. Плотность распределения случайной величины Х: . Найти коэффициент а и плотность вероятности величины Y=X2.
Ответ: а = 1/p;
7.16. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
xi | -p | -p/2 | 0 | p/2 | p |
pi | 0,1 | 0,3 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины = cos X.
Ответ:
7.17. Задана функция распределения случайной величины Х: . Определить вероятность того, что 0.2≤Y≤0.5, если Y= .
Ответ: Р = 0,00195.
7.18. Случайная величина Х может принимать значения: Х={-1,0,1}. Известно, что математическое ожидание величины Х равно 0, а дисперсия равна 0.08. Составить законы распределения случайных величин Х и Y=X2.
Ответ:
Х | -1 | 0 | 1 |
Р | 0,2 | 0,6 | 0,2 |
У | 0 | 1 |
Р | 0,6 | 0,4 |
7.19. Случайная величина Х задана рядом распределения:
xi | -1 | 0 | 1 | 2 |
pi | 0,25 | 0,3 | 0,2 | 0,25 |
Найти функцию распределения F(y), построить ее график и вычислить вероятность события (Y 3), если Y=X2.
Ответ:
У | 0 | 1 | 2 |
Р | 0,3 | 0,45 | 0,25 |
.
Р(У<3)=Р(У£3)=1.
7.20. Случайная величина Х имеет плотность вероятностей: .
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y=eX.
Ответ: Му=0,5е ; Dy =(e –1)/16.
7.21. Производится два выстрела с вероятностями попадания в цель при каждом выстреле соответственно 0.6. Составить законы распределений случайной величины Х={ число попаданий при двух выстрелах} и величины Y=2X+2.
Ответ:
Х | 0 | 1 | 2 |
Р | 0,16 | 0,48 | 0,36 |
У | 2 | 4 | 6 |
Р | 0,16 | 0,48 | 0,36 |
7.22. Случайная величина Х имеет плотность распределения вероятностей: . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение величины Y= .
Ответ:
7.23. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=4X+Y, если X и Y - независимые нормально распределенные случайные величины с плотностями распределений:
, .
Ответ:
7.24. Определить математическое ожидание случайной величины Z= XY+X, если X и Y - случайные величины с известными mx=2, my= ‑2 и Kxy= ‑3.
Ответ:
7.25. Заданы две независимые случайные величины X и Y. Величина Х распределена по показательному закону с параметром ; величина Y распределена по тому же закону с параметром . Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=‑3X+2Y.
Ответ:
7.26. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=4X-2Y, если X и Y - случайные величины с известными характеристиками mx=2, my=-1, Dx=4, Dy=2, Kxy=2.
Ответ:
7.27. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Ответ:
7.28. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0,3). Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение случайной величины .
Ответ:
7.29. Заданы две независимые случайные величины X и Y. Величина Х распределена равномерно на интервале (‑3, 1), величина Y распределена по показательному закону с параметром . Определить математическое ожидание случайной величины Z= 5XY-3X.
Ответ:
7.30. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z=3X+4Y, если X и Y - случайные величины с известными характеристиками mx=‑2, my=1, Dx=3, Dy=1, Kxy=4.
Ответ:
7.31. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z= ‑X+3Y, если X и Y - случайные величины с известными характеристиками mx= ‑1, my=2, Dx=1, Dy=3, Kxy= ‑2
Ответ:
7.32. Заданы две независимые случайные величины X и Y. Величина Х распределена нормально с плотностью вероятности , величина Y распределена равномерно на интервале (‑5, 1). Определить математическое ожидание случайной величины Z= -2XY-10.
Ответ:
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 448; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!