Асимметрия, эксцесс, мода и медиана

нормального распределения соответственно равны:

а_s=0, е_k=0, M_o=a, M_e=a, где a=M[X].

График плотности вероятности нормального распределения (рис.5.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).

Пример 5.6. Ошибка измерения длины платформы станции метро подчинена нормальному закону. Математическое ожидание этой ошибки равно 5см, а среднее квадратичное отклонение равно 10см. Найти вероятность того, что измеряемое значение длины платформы будет отклоняться от истинного не более чем на 20см.

4Решение задачи сводится к определению вероятности попадания СВ Х (ошибка измерения) с математическим ожиданием а=5см и средним квадратичным отклонением s=10см в интервал значений (‑20, 20).По формуле вычисления вероятности попадания Х в заданный интервал имеем:

P(‑20<Х<20) = = .3

Пример 5.7. Доказать, что параметр а нормальной плотности распределения СВ Х является математическим ожиданием Х.

4Доказательство. По определению: . Для нормального распределения получим:

= = = = + =a

(так как =0, а интеграл Пуассона: ). 3

Задачи

Биномиальный закон.

5.1. Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,1. Составить закон распределения числа выигравших облигаций среди приобретенных 19. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Ответ:

5.2. Партия из 10 изделий проверяется на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0.8. Определить математическое ожидание и дисперсию СВ Х = {число стандартных изделий в партии}.

Ответ:

5.3. В большой партии 20% нестандартных деталей. Из них наудачу отобраны 5 деталей. а) написать биномиальный закон распределения дискретной СВ Х - числа нестандартных деталей среди пяти отобранных; б) построить многоугольник распределения; в) найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение.

Ответ:	Х	0	1	2	3	4	5
Ответ:	p	0.328	0.41	0.205	0.051	0.0064	0.00032

M(X) = 1;

5.4. Написать биномиальный закон распределения дискретной СВ Х ‑ числа появлений “герба” при двух бросках монеты. Построить функцию распределения.

Ответ:	Х	0	1	2
Ответ:	p	0,25	0,5	0,25

Гипергеометрическое распределение

5.5. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наугад отобраны 2 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных. Определить вероятность того, что число стандартных деталей среди отобранных будет меньше двух.

Ответ:	Х	0	1	2
Ответ:	p

; Р(Х<2) = .

5.6. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения СВ Х ‑ числа стандартных деталей среди отобранных. Построить функцию распределения. Найти M[X], D[X], s_x.

Ответ:	Х	0	1	2	3
Ответ:	p	0	0.2	0.6	0.2
M(X) = 2;

5.7. Партия из 20 деталей содержит 16 стандартных. Наугад отобраны 4 детали. Составить закон распределения СВ Х = {число стандартных деталей среди четырёх отобранных}. Определить вероятность того, что среди отобранных деталей число стандартных будет не меньше двух.

Ответ:	Х	0	1	2	3	4
Ответ:	p	0.0002	0.013	0.149	0.462	0.376

Р(2<Х<4) = 0.987.

5.8. В партии из 10 деталей содержится 4 нестандартных. Наугад отобраны 2 детали. Найти дисперсию и среднее квадратичное отклонение СВ Х={число стандартных деталей среди отобранных}.

Ответ:

5.9. В партии из 10 деталей содержится 4 нестандартных. Наугад отобраны 3 детали. Записать закон распределения СВ Х={число стандартных деталей среди отобранных}. Определить вероятность того, что число нестандартных деталей среди отобранных будет не меньше двух.

Ответ:	Х	0	1	2	3
Ответ:	p

p=1/3.

5.10. На складе магазина имеется 10 телевизоров, среди которых 3 бракованных, что визуально не определяется. Наугад берутся 4 телевизора и подключаются к сети. Найти и построить (в виде многоугольника распределения) ряд распределе-ния числа телевизоров Х, которые будут работать. Найти математическое ожидание, дис-персию и среднее квадратичное отклонение СВ Х.

Ответ: M(X) = 2.8;

Распределение Пуассона

5.11. СВ Х представляет число бракованных деталей из возвратной выборки в 50 штук. Вероятность брака одной детали p=0,06. Найти математическое ожидание, дисперсию и средне квадратичное отклонение числа бракованных деталей в выборке.

Ответ:

5.12. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут : а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.

Ответ:

5.13. Найти среднее число l - бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий распределено по закону Пуассона.

Ответ:

Равномерное распределение

5.14. Предполагая, что индекс цен на продовольственные товары равномерно распределен в пределах от 110 до 150%, найти вероятность того, что он не превысит 135%, а также вычислить характеристики его разброса.

Ответ:

5.15. Коммерческая маржа Х посреднической фирмы равномерно распределена с параметрами =20 тыс. гривень в месяц и =3,464 тыс. гривень в месяц. Найти вероятность того, что в следующем месяце она превысит 25 тыс. гривень.

Ответ:

5.16. Минутная стрелка электрических часов передвигается скачками поминутно. Вы бросили взгляд на часы. Они показывают минут. Тогда для вас истинное время в данный момент будет случайной величиной. Найти её функцию распределения, считая, что время течёт равномерно.

Ответ: .

5.17. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 мин.

Ответ: 0,6.

Показательное распределение

5.18. Регулярным контролем состояния овощей, завезенных на склад, определяется срок их годности. В среднем он равен 125 дням. Описать этот срок с помощью показательного закона распределения и найти вероятность того, что он превысит средний.

Ответ:

5.19. Плотность показательного распределения имеет вид: ; . Найти постоянную С

Ответ:

5.20. Дана плотность вероятности СВ: . Найти коэффициент а и вероятность того, что .

Ответ: а = 2; Р( )= 0,75.

5.21. Время, необходимое для устранения неисправностей в телевизоре, есть СВ Т. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение времени обслуживания, если .

Ответ:

5.22. Найти математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс СВ Х, подчиненной показательному распределению:

Ответ:

5.23. СВ Х распределена по показательному закону, заданному функцией распределения: . Найти вероятность того, что в результате испытания Х попадет в интервал (2, 5).

Ответ: 0,251.

5.24. СВ Х - продолжительность жизни мужчин в некотором регионе – задана функцией распределения . Найти вероятность того, что случайно выбранный мужчина доживет до 60 лет.

Ответ: 0,091.

Нормальное распределение СВ.

5.25. Текущая цена акции моделируется нормальным законом распределения с математ. ожиданием 15 ден. ед. и средним квадратическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти: 1 вероятность того, что цена акции: а) не выше 15,3 ден. ед.; б) не ниже 15,4 ден. ед.; в) от 14,9 до 15,3 ден. ед. 2. С помощью правила найти границы, в которых будет находиться текущая цена акции.

Ответ: 1. а) 0,4332; б) 0,0228;   в) 0,6246;    2. .

5.26. Цена акции распределена нормально. В течение последнего года 20% рабочих дней она была ниже 88 ден. ед., а 75% - выше 90 ден. ед. Найти: а) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение цены ценной бумаги; б) вероятность того, что в день покупки цена будет заключена в пределах от 83 до 96 ден. ед.; в) с надежностью 0,95 определить максимальное отклонение цены от среднего (прогнозного) значения по абсолютной величине.

Ответ: а) М(х) = 98; σ = 12; б) 0,33; в) .

5.27. По многолетним наблюдениям за балансовой прибылью фирмы установлено, что эта прибыль меняется в пределах от 10000 до 40000грив. в месяц. Считая, что она распределена нормально, определить параметры этого распределения и найти вероятность того, что балансовая прибыль в следующем месяце составит 24000-28000 гривен. Указание. Из неравенства , предварительно найти

Ответ:

5.28. Система, "следящая" за процессом ценообразования, содержит систематические и случайные ошибки. Систематическая ошибка равна 0,5 цента в сторону занижения. Случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения со средним квадратичным отклонением s=1цент. Найти а) вероятность фиксации цены по абсолютной величине 1,5 цента; б) вероятность того, что фиксированная цена не превзойдет истинной.

Ответ: .

5.29. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением s=20г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10г.

Ответ:

5.30. Фирма изготавливает железобетонные изделия, используя в качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенностью спроса на эти изделия потребность в цементе меняется из месяца в месяц, причем в среднем она составляет 2500 т/мес., а ее разброс характеризуется среднеквадратичным отклонением 600 т/мес. Считая распределение потребности в цементе нормальным, определить вероятность того, что в следующем месяце она не выйдет за пределы 2200-2700 т.

Ответ:

5.31. Деталь, изготовленная автоматом, считается годной, если отклонение ее контролируемого размера от проектного не превышает 10 мм. Случайные отклонения контролируемого размера от проектного подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением s=5мм. и математическим ожиданием а=0. Сколько процентов годных деталей изготавливает автомат?

Ответ: , т.е. автомат изготовил примерно 95%.

5.32. Нормально распределенная СВ Х задана плотностью вероятности . Найти моду и медиану.

Ответ:

5.33. СВ Х распределена нормально с математическим ожиданием а=10 и средним квадратичным отклонением s=5. Найти интервал, симметричный относительно математического ожидания, в который с вероятностью 0,9973 попадет величина Х в результате испытания.

Ответ: .

Другие законы распределения

5.34. СВ Х задана функцией распределения Рэлея:    Найти плотность распределения величины Х.

Ответ:

5.35. Дана функция распределения Рэлея: Найти моду и медиану этого распределения.

Ответ:

5.36. Дана плотность вероятности СВ Х: . Найти математическое ожидание.

Ответ:

5.37. Дана плотность вероятности СВ: . Найти коэффициент а и моду.

Ответ: а = 0,25;



Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 1349; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!