Глава 6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Закони распределения систем случайных величин.
Несколько случайных величин, рассматриваемых совместно, образуют систему случайных величин, обозначаемую (X,Y), (X,Y,Z), ... . В дальнейшем рассматриваются системы двух случайных величин (случайные векторы) (Х,Y), где Х, Y – составляющие системы, могут быть дискретными или непрерывными.
Охарактеризовать систему (Х,Y) можно законом ее распределения. Законом распределения (X,Y)называется соотношение, устанавливающее связь между областями ее значений и соответствующими вероятностями. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины задается в виде таблицы 1:
Таблица 1
| X \ Y | 
| 
| . . . | 
|
| 
| 
| . . . | 
|
| 
| 
| . . . | 
|
| . . . | . . . | . . . | . . . | . . . |
| 
| 
| 
|
где 
- вероятность события, заключающегося в совместном выполнении равенств 
причем 
.
Интегральная функция распределения вероятностей системы случайных величин (Х,У) определяется:
(6.1)
и геометрически представляет собой вероятность попадания случайной точки с координатами (Х,У) в бесконечный прямоугольник с вершиной в точке М(х;у), лежащий левее и ниже ее.
Для систем дискретных случайных величин интегральная функция распределения:
. (6.2)
Для систем непрерывных случайных величин интегральная функция распределения:
, (6.3)
|
|
|
где 
‑ плотность распределения вероятностей или дифференциальная функция распределения системы случайных величин (Х,У):
(6.4)
Свойства интегральной функции распределения:
1) 
.
2) 
.
3) 
.
4) 
.
Свойства дифференциальной функции распределения
(плотности вероятности):
1) 
2) 
(условие нормировки);
3) 
;
4) вероятность попадания случайной точки (Х,Y) в область D :
. (6.5).
Случайные величины Х и Y являются независимыми, если 
, где F1(x), F2(y) – безусловные интегральные функции распределения составляющих системы.
Одномерные плотности вероятностей составляющих системы:
(6.5).
Для системы независимых случайных величин Х и Yдвумерная плотность вероятности равна произведению плотностей распределения вероятностей составляющих:
(6.6)
В случае системы дискретных случайных величин можно построить безусловные законы распределения составляющих в виде таблиц 2 и 3.
Таблица 2
| 
| 
| . . . | 
|
| 
| 
| . . . | 
|
Таблица 3
| 
| 
| . . . |
|
| 
| 
| . . . | 
|
Пример 6.1.Передаются два сообщения, каждое из которых может быть независимо друг от друга либо искажено, либо не искажено. Вероятность события А {сообщение искажено} для первого сообщения равна 0,2, для второго - 0,3. Рассматривается система двух случайных величин (Х,У), определяемых так:
|
|
|
Х=0, если первое сообщение не искажено, Р(X=0)=0,8;
X=1, если первое сообщение искажено, Р(X=1)=0,2;
Y=0, если второе сообщение не искажено, Р(Y=0)=0,7;
Y=1, если второе сообщение искажено, Р(Y=1)=0,3;
Найти закон совместного распределения системы (Х,Y).
4 Так как случайные величины, входящие в систему, дискретны, то закон распределения должен быть выражен в виде таблицы 1. Вероятности 
определятся следующим образом.
; 
; 
; 
.
Закон распределения системы (Х,У) имеет вид:
 \ 
| 0 | 1 | |
| 0 | 0,56 | 0,24 | .3 |
| 1 | 0,14 | 0,06 |
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 561; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!