ГЛАВА 7. ФУНКЦИИ ОДНОГО И ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
Функции одного случайного аргумента. Законы распределения. Числовые характеристики
Случайную величину Y называют функцией случайного аргумента X и записывают 
, если каждому значению X поставлено в соответствие некоторое значение Y. Возникает вопрос о нахождении закона распределения и числовых характеристик У по известному закону распределения Х.
Если X - дискретная случайная величина и функциональная зависимость 
монотонна, то различным значениям X будут соответствовать различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений будут одинаковы. Т.е. если xi - возможные значения X, а 
- полученные значения Y, то 
и закон распределения У имеет вид:
У  =j (х )
| у  = j ( х )
| у  = j (х )
| … | у =j (х )
| … | у  =j (х )
|
| Р(Y=уi) | р
| р
| … | р
| … | р
|
Если же зависимость 
немонотонна, то различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y. В таких случаях для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех значений X, при которых Y принимает одинаковые значения и расположить все значения 
в порядке возрастания.
Если X - непрерывная случайная величина, заданная дифференциальной функцией 
и функциональная зависимость 
строго монотонна, то дифференциальная функция 
определяется равенством
(7.1)
где х= 
- обратная функция для функции .
В случае немонотонной зависимости на множестве изменения X, следует разбить это множество на такие интервалы, в которых 
сохраняет монотонность, найти в соответствии с формулой (7.1) 
на каждом из этих интервалов и представить в виде суммы:
|
|
|
.
При известном законе распределения функции случайного аргумента определение числовых характеристик производится обычным способом:
для дискретныхХ для непрерывныхХ
; 
;
; 
;
Однако 
и 
можно получить, не определяя предварительно закон распределения функции 
. Рассмотрим примеры.
Пример 7.1. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
| Х | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Р | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Найти закон распределения функции 
.
4 Составляем таблицу:
| У=5(X-2)2+3 | 3 | 8 | 23 | 48 |
| Р(Y=уi) | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
Так как все полученные значения уi различны и расположены в возрастающем порядке, эта таблица выражает закон распределения функции . 3
Пример 7.2. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
| Х | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Р | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
Найти закон распределения функции 
.
4 Составляем таблицу:
| .
| 0 | -1 | 0 | 3 | 8 |
| Р(У=уi) | 0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,2 | 0,2 |
Здесь есть два одинаковых значения у=0, им следует отвести один столбец, соответствующие вероятности сложить и расположить столбцы в порядке возрастания уi . Закон распределения У имеет вид:
|
|
|
| У=Х2-1 | -1 | 0 | 3 | 8 | |
| Р(Y=уi) | 0,1 | 0,5 | 0,2 | 0,2 | . 3 |
Пример 7.3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей 
. Найти дифференциальную функцию случайной величины 
.
4 Поскольку функциональная зависимость 
монотонна на всей числовой оси, пользуемся готовой формулой 
, где - обратная функция для функции ; Þ 
;
, 
,
итак, 
3
Пример 7.4. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией 
. Найти дифференциальную функцию распределения 
случайной величины 
.
4 Функция 
на интервале 
не является монотонной. Разобьем этот интервал на две части 
и 
, в каждой из которых функция сохраняет монотонность. В интервале 
, обратная функция есть 
, в интервале - 
. Найдем из равенства:
.
Производные обратных функций соответственно равны:
, 
,
и 
.
Так как Х принимает значения в интервале 
, то 
. Таким образом,
.
Контроль: 
. 3
Пример 7.5. Закон распределения случайной величины Х имеет вид:
| Х | 0 | 1 | 3 | 3 |
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,1 |
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
.
|
|
|
4Воспользуемся формулами, не вычисляя предварительно закон распределения случайной величины У:
= 
=
= 
;
. 3
Пример 7.6. Плотность распределения случайной величины Х задана выражением: 
. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины 
.
4Воспользуемся формулами для вычисления математического ожидания и дисперсии функции непрерывного случайного аргумента Х, не находя предварительно закона распределения случайной величины У:
;
3
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 607; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!