Глава 3. Повторение испытаний
Формула Бернулли
Пусть опыт состоит в проведении серии 
испытаний, в каждом из которых событие А может произойти с вероятностью Р(А)=р или не произойти с вероятностью Р( 
) = 1 - Р(А) = 1 ‑ р = q. Если результат каждого испытания не зависит от исхода других, то испытания называются независимыми повторными испытаниями. Событие А называют простым событием. Событие ‑{ появление простого события А ровно 
раз в 
независимых испытаниях} ‑называют сложным событием и обозначают 
.
Опыт, удовлетворяющий перечисленным условиям, называют схемой испытаний Бернулли или схемой независимых испытаний.
Цель опыта: определить вероятность 
сложного события 
, заключающегося в том, что в независимых испытаниях простое событие А появится ровно раз и не появится 
раз.
Эта вероятность определяется формулой Бернулли:
, (3.1)
где 
‑ биномиальные коэффициенты.
Всего сложных вероятностей в схеме испытаний Бернулли всегда 
.
Сумма сложных вероятностей равна сумме вероятностей полной группы попарно несовместных событий и описывает вероятность достоверного события, равную единице:
. (3.2)
Вероятность того, что в испытаниях простое событие А наступит не менее 
и не более 
раз, равно сумме вероятностей сложных событий:
= 
= 
+ 
+…+ 
= 
. (3.3)
Соответственно, вероятности того, что в испытаниях простое событие А наступит:
|
|
|
1) менее 
раз
= 
= 
+ 
+…+ 
= 
;
2) более 
раз
= 
= 
+ 
+…+ 
= 
;
3) не менее раз
= 
= 
+ + …+ = 
;
4) не более раз
= 
= + +…+ = 
.
Пример 3.1. Вероятность того, что в течение рабочего дня произойдет сбой в поставке сырья на производство, равна 0.8. Определить вероятности того, что в течение рабочей недели (5 дней):
1) три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья;
2) сбой в поставках будет в трех рабочих днях;
3) сбой будет менее чем в трех рабочих днях;
4) сбой будет не более чем в одном рабочем дне;
5) сбоя в поставках не будет ни разу;
6) сбой будет хотя бы в одном рабочем дне;
7) сбой будет не менее чем в одном и не более чем в трех рабочих днях.
Простое событие А = {нет сбоя в поставках сырья в течение одного рабочего дня}, Р(А)=р=0.8. Противоположное событие 
={произошел сбой в поставках сырья в течение рабочего дня},
Р( ) = 1‑ р = q = 0.2.
1) Сложное событие В={ровно три рабочих дня не будет сбоя в поставке сырья}, его вероятность вычисляем по формуле Бернулли:
Р(В) = 
= 
= 
=0.2048
2) Событие С= {сбой в поставках будет в трех рабочих днях},
Р(С) = 
= 
=0.0512
3) Событие D= {сбой в поставках будет менее чем в трех рабочих днях} равно сумме сложных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}. Эти события несовместны, поэтому:
|
|
|
P(D) = 
+ 
+ 
= 
=
= 
+ 
+ 
= 0.512(0.64+0.8+0.4) = 0.94208.
4) Событие F= {сбой в поставках будет не более чем в одном рабочем дне} состоит из суммы двух несовместных событий: {сбоя не будет ни в одном дне}, {сбой будет в одном дне} и его вероятность:
Р(F)= 
+ 
= 
=
= + = 0.32768+0.4096 = 0.73728.
5) Событие Е=×{сбоя поставок не будет ни в одном рабочем дне},
Р(Е)= 
= =0.85 =0.32768.
6) Событие G={сбой в поставках будет хотя бы в одном рабочем дне} является противоположным сложному событию Е= {сбоя не будет ни в одном дне}.
Р(G) =1‑Р(Е) = 1‑0.32768 =0.67232.
7) Событие K={сбой в поставках будет не менее, чем одном, и не более, чем в трех рабочих днях}, состоит из суммы трех несовместных сложных событий: {сбой будет в одном дне}, {сбой будет в двух днях}, {сбой будет в трех днях}:
Р(К) = + 
+ 
= 
= + + 
=0.82×0.2×5(0.64+2×0.8×0.2+2×0.04)== 0.64×1.04=0.6656. 3
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 378; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!