Критерий устойчивости Гурвица
Швейцарский профессор А. Гурвиц в 1895 году разработал алгоритм решения задачи определения устойчивости системы регулирования.
Для характеристического уравнения n-го порядка
αОpn + α1pn-1 +... + αn-1p + αn = 0
составляют квадратную матрицу коэффициентов (определитель Гурвица), содержащую n строк и n столбцов
По главной диагонали записываются n коэффициентов, начиная с α1 и кончая αn. Каждый столбец дополняется вверх от диагонали коэффициентами с возрастающими индексами, а вниз – коэффициенты с убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n (отсутствующие коэффициенты) записываются нули.
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо, чтобы при αО>0 все n главных определителей были положительными. Определители получаются из главной матрицы простым отчёркиванием n-го столбца и n-ой строки.
Уже для уравнений выше четвёртой степени условия устойчивости по критерию Гурвица получаются громоздкими. Поэтому он используется для анализа уравнений до четвёртого порядка.
Критерий устойчивости Михайлова
Этот частотный критерий был сформулирован А.В. Михайловым в 1936 году.
В характеристический многочлен линейной системы n-го порядка
D(p) = αОpn + α1pn-1 +... + αn-1p + αn
Подставляют чисто мнимое значение p = jω и получают характеристический комплекс
D(jω) = X(ω) + jY(ω),
В котором вещественная часть X(ω) содержит чётные степени параметра ω
|
|
|
X(ω) = αn – αn-2 ω2 +αn-4 ω4 - ….
А мнимая часть Y(ω) нечётные степени параметра ω.
Y(ω) = αn-1ω – αn-3 ω3 +αn-5 ω5 - ….
Комплекс D(jω) изображают на комплексной плоскости в виде вектора с проекциями на вещественную и мнимую оси X и Y. Если значение ω изменять непрерывно от 0 до ∞, то вектор D(jω) своим концом опишет кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова. Практически кривая Михайлова строится по точкам, задаваясь различными значениями ω и вычисляя значения X(ω) и Y(ω).
Для устойчивости системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω), описывающий кривую Михайлова, при изменении параметра ω от 0 до ∞ имел угол поворота ψ = n π/2 против часовой стрелки.
Рис. 5.2. Кривые Михайлова на комплексной плоскости.
Критерий устойчивости Найквиста
Этот критерий был сформулирован в 1932 году американским учёным Найквистом. В отличие от критерия Михайлова он позволяет судить об устойчивости замкнутой автоматической системы по виду АФЧХ разомкнутой системы.
Для реализации этого критерия в передаточную функцию разомкнутой системы подставляют p = jω и получают частотную передаточную функцию разомкнутой системы (АФЧХ)
|
|
|
W(jω) = U(ω) + jV(ω)
Если значение ω изменять от 0 до ∞, то вектор W(jω) своим концом опишет на комплексной плоскости кривую, которая называется АФЧХ разомкнутой системы. При ω → ∞ модуль вектора стремится к нулю, то есть попадает в начало координат.
Рис. 5.3. График АФЧХ разомкнутой системы.
Для устойчивости замкнутой АС необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении ω от 0 до ∞ охватывала точку с координатами (-1, j0) на угол lπ против часовой стрелки, где l – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, имеющих положительные вещественные части. Если АФЧХ проходит через точку (-1, j0), то замкнутая система находится на колебательной границе устойчивости.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 295; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!