Радіальна частина хвильової функції електрона атома водню

Для  ефективний потенціал має форму потенціального бар’єра, тому енергетичний спектр власних значень  буде неперервним, як у вільного електрона.

Для ефективний потенціал має форму потенціальної ями, тому електрон в цій ямі матиме дискретний спектр власних енергій.

Розв’язок рівняння (8.48) знаходять у вигляді спеціальних поліномів Лягера:

,                      (8.50)

де окремі члени у (8.50) зв’язані співвідношенням

Проаналізуємо власні значення  рівняння (8.48). Введемо позначення:  Тоді рівняння (8.48) стає наступним:

.                 (8.51)

Розглянемо асимптотичні розв’язки (8.51). При

 де , бо при .

У випадку, коли , в (8.51) повинні залишитися члени з максимальним показником степені

.                              (8.52)

Розв’язок (8.52) будемо шукати у вигляді . Це дає наступне:

                                  (8.53)

                     (8.53*)

Залишаємо лише перший корінь , бо при  і . Тому залишається тільки .

Будемо шукати розв’язок (8.51) у вигляді

                                           (8.54)

Після підстановки (8.54) у (851) отримаємо рівняння відносно :

              (8.55)

Нехай

.                                 (8.56)

Для того щоб ряд (8.56) при  та при  прямував до нуля, він повинен починатись членом

                      (8.57)

Підстановкою (8.57) у (8.51) одержимо тотожність

 (8.58)

Прирівняємо коефіцієнти при однакових показниках степенів

            (8.59)

Із (8.59) отримаємо рекурентне співвідношення:

.        (8.60)

Для того щоб ряд (8.56) був скінченним, потрібно, щоб з певного номера його коефіцієнти дорівнювали нулю, тобто виконувалась умова

.                          (8.61)

Скориставшись позначеннями використаними в (8.51), маємо:

.                           (8.61*)

Комбінуючи (8.60) і (8.61), остаточно запишемо вираз для власного значення енергії електрона

,                                   (8.62)

де . Позначимо  тоді

,                                  (8.63)

де  - головне квантове число. Його фізичний зміст полягає в тому, що воно визначає власні енергії (енергії стаціонарних станів) електрона в атомі водню. Головне квантове число  набуває всі значення від 1 до ¥

Розглянемо найпростіший випадок стану , коли ,  а . Для нього із (8.51) та (8.56) можна записати

. (8.64)

Перевіримо, чи (8.64) є розв’язком рівняння (8.46). Для цього підставимо (8.64) в (8.48)

              (8.65)

              (8.66)

Воно стає тотожністю, коли коефіцієнти при членах з однаковими степенями від стають рівними нулеві

;                                  (8.67)

або . Тоді ,де  – радіус Бора. Таким чином, ми отримали вираз для енергії основного стану електрона в атомі водню, коли .

Радіальний розподіл електронної хмари атома водню

    Проаналізуємо радіальний розподіл електронної хмари  або ймовірність того, що електрон знаходиться в інтервалі значень  від  до . Вона є добутком густини ймовірності  і елементу об’єму . Знайдемо її для стану , в якому , ,

    (8.68)

Ймовірність  має екстремум. Знайдемо при якій умові:

.

 .

Екстремум знаходиться за умовою ,тобто найбільша ймовірність знайти електрон у стані  атома водню має місце на відстані першої борівської орбіти .

Таблиця 8.2а. Радіальна частина хвильових функцій та радіальний розподіл електронної хмари атома  для ; .
	1	0
	2	0
	2	1
	3	0
	3	1
	3	2

Наведемо в таблиці 8.2 радіальний розподіл електронної хмари

або радіальну частину атомних орбіталей в атомі водню. Він залежить від квантових чисел  і .

Приклади розподілу  і  для декількох квантових чисел  і  наведені на рис. 8.5. Радіальна частина хвильової функції може зменшуватись і змінювати знак, а густина радіального розподілу завжди позитивна і має характерні максимуми найбільш вірогідного знаходження електронної густини. На рис.8.6 радіальний розподіл електронної густини зображений у масштабі відстаней .

Збільшення квантових чисел зсуває максимум електронної густини на більші відстані від ядра. Для того, щоб уявити собі повний просторовий розподіл електронної густини, користуються хвильовою функцією і просторовий розподіл графічно зображають іншими способами. Один із прикладів такого зображення хвильової функції стану  представлений на рис.8.7. Рис.8.7.а дає уявлення про трьохвимірний розподіл хвильової функції, а рис.8.7.б - про контурну карту хвильової функції, на якій кривими з’єднані точки з однаковими значеннями .

Видно, що просторовий розподіл електронної густини в стані   направлений вздовж осі . Це означає, що атомні р-орбіталі направлені вздовж певних осей.

На рис.8.7.в зображена залежність  - хвильової функції від . Вона змінює знак. Тому, при побудові атомних орбіталей їм приписують знак хвильової функції. Наприклад, на рис.8.7.б вздовж осі  атомній орбіталі приписують знак +, при  - знак мінус. 0

Мы поможем в написании ваших работ!