Найпростіші випадки розв’язку рівнянь Шредінґера

Розглянемо частинку в потенціальній ямі з нескінченими стінками, для якої потенціал  має вигляд:

.

Розіб’ємо весь простір (одновимірна задача рис.7.1) на 3 області: 1 - , 2 -  і 3 -  Для цих областей маємо 3-и рівняння:

                             (7.10)

або                        ,                                     (7.10*)

де                                 (7.11)

 має розмірність см^-1. Загальний розв’язок рівняння (7.10) має вигляд:

                   (7.12)

де А і В довільні сталі. Їх можна визначити з таких граничних умов:

1) в областях 1 і 2, де , частинка існувати не може, бо не може мати нескінчену енергію, звідки  і ;

2) умова неперервності хвильової функції дає

          (7.13)

Із цих рівнянь знаходимо:

 та            (7.13*)

де  - ціле число, яке пробігає значення

Підставимо в (7.13*)   із формули (7.11), тоді

                                    (7.14)

                                  (7.15)

Проаналізуємо отримані результати.

· По-перше, енергетичний спектр частинки всередині потенціальної ями дискретний;

· По-друге, відсутній рівень із квантовим числом , бо це суперечить співвідношенню невизначеностей. Дійсно, якщо , то згідно (7.13),  і , а співвідношення невизначеності дає таке значення для , що вимагає локалізації електрона у всьому просторі, а не в межах бар'єру;

· По-третє, інтервал між дискретними рівнями енергії  залежить від ширини потенціальної ями та квантового числа n

       (7.16)

У таблиці 7.1 наведені дані для  при різних .

Таблиця 7.1. Значення  при різних а - ширина потенціальної ями

а [Å]	1	10	100	1000
	0,8´10-10	0,8´10-12	0,8´10-14	0,8´10-16
	0,5´102	0,5	0,5´10-2	0,5´10-4

Експериментально виявити дискретні рівні енергії можливо лише тоді, коли . Для  і

Ці квантові властивості твердого тіла малих розмірів дійсно спостерігаються експериментально й називаються квантовим розмірним ефектом, який останнім часом знайшов застосування в наноелектроніці.

· По-четверте, під час переходу з одного стаціонарного стану з енергією  в інший з енергією  відбувається поглинання або випромінювання кванта енергії .

Частинка в потенціальній ямі зі скінченними стінками

У випадку потенціальної ями зі стінками скінченої висоти розв’язок задачі знаходиться так, як і для ями з нескінченими стінками. (див. задачу №2, розділ 5 [1]).

Ця задача буде розв’язуватись на практичних заняттях. Результати розв’язку такі:

· По-перше, частинки мають при  неперервний спектр енергії, як і у вільної частинки.

· По-друге, при  спектр енергії частинки дискретний і для найглибших рівнів збігається з попереднім випадком ями з нескінченими стінками.

· По-третє, не існує рівня енергії із квантовим числом , тому що це суперечить співвідношенню невизначеностей.

· По-четверте, на відміну від попереднього випадку ями з нескінченими стінками для ями зі скінченими стінками хвильові функції не прямують до нуля на його стінках, а плавно (експоненціально) затухають у середині стінки ями, як це показано на схематичному рис.7.2.

Гармонічний осцилятор

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора є парабола , де  - коефіцієнт квазіпружної сили  Одновимірне рівняння Шредінґера для стаціонарних станів має такий вигляд:

.                     (7.17)

де m₀ – маса частинки. Пам’ятаючи, що в попередньому випадку частинки в потенціальній ямі ми отримали дискретний спектр енергії, можна очікувати, що й у цьому випадку матимемо також дискретний спектр енергій, хоча залежність від квантових чисел і параметрів осцилятора буде іншою. Хвильова функція між класичними точками повороту (точками на кривій ) має вигляд осцилюючої функції, а зовні вона експоненціально затухає. Відповідність із класичним осцилятором спостерігається при

Розв’язок рівняння Шредінґера дає таку залежність для власних значень енергії осцилятора:

                                     (7.18)

де  - вібронне (коливальне) квантове число, котре пробігає значення  а  - власна частота гармонічного осцилятора

                                               (7.19)

Нульову енергію осцилятора  можна знайти, користуючись співвідношенням невизначеностей  та ще й умовою мінімуму повної енергії гармонічного осцилятора . Дійсно,  тоді . Аналізуючи рис.7.3, на якому схематично зображені енергетичні рівні, хвильові функції і квадрати хвильових функцій для різних вібронних (коливальних) квантових чисел , зробимо такі висновки:

· дискретний спектр енергій гармонічного осцилятора лінійно залежить від вібронного (коливального) квантового числа ;

· можливий стан із квантовим числом , енергія якого рівна ;

· інтервал енергій між двома стаціонарними станами рівний ;

· імовірність знайти електрон у певному стані залежить від вібронного числа . При малих значеннях квантового числа  квантовий осцилятор найбільш суттєво відрізняється від класичного. Найбільша густина ймовірності знайти електрон квантового осцилятора  знаходиться в точках, розташованих ближче до точки  (рис.7.3), тоді як для класичного осцилятора вона знаходиться в станах на кривій , коли його кінетична енергія ; чим більше квантове число , тим більша ймовірність знайти осцилятор в стані з нульовою кінетичною енергією, тобто знайти його в стані на кривій ;

· треба також пам’ятати, що з усіх можливих переходів між стаціонарними станами спостерігаються ті, для яких виконується таке правило відбору.

На закінчення зауважимо, що гармонічний осцилятор дуже важливий фізичний об’єкт згідно теореми про нормальні координати систему в нормальних координатах розглядають як набір гармонічних осциляторів. За його допомогою вдається зрозуміти закони теплового випромінювання, сили Ван-дер-Ваальса, коливальні спектри молекул тощо.

Мы поможем в написании ваших работ!