Співвідношення невизначеностей
Наявність у частинок хвильових і корпускулярних властивостей застерігає нас від простого переносу класичних уявлень і методів для опису і вивчення властивостей цих частинок. Хвилі – нелокалізовані, а частинки - локалізовані. Будь-яке обмеження хвильового процесу або часу його розповсюдження завжди призводить до втрати монохроматичності (моноенергетичності). При цьому, як вже було показано, мають місце такі фундаментальні нерівності:
(6.30)
(6.31)
Формули (6.30) і (6.31) часто називаються співвідношеннями або принципом невизначеностей Гейзенберга, бо на наявність зв’язку між цими величинами вперше вказав німецький вчений, лауреат Нобелівської премії 1932 року з фізики Вернер Гейзенберг.
Згідно цього принципу існує принципова границя точності вимірювання. Вона закладена в природі речовини і не може бути перевершена ніякими вдосконаленнями приладів та методів вимірювання.
Співвідношення (6.31) встановлюють допустиму межу невизначеностей 
та 
, з якими стан частинки можна характеризувати так само, як і в класичній фізиці за допомогою координат 
і імпульсів. Чим точніше локалізована частинка, тобто чим менше 
,тим більше невизначеність імпульсу 
, тому що 
. Або чим коротший проміжок часу існування будь-якого стану або інтервалу часу між послідовними вимірами, тим з меншою визначеністю можна говорити про енергію цього стану, тому що 
. Це співвідношення невизначеності (6.31) виникає внаслідок взаємодії системи з вимірним приладом, збурення якої не може бути меншим, ніж 
. Воно залишається справедливим, коли навіть 
– це невизначеність нестаціонарного стану замкненої системи, а 
– характерний час, протягом якого суттєво змінюються середні значення фізичної величини цієї системи. Таким чином, співвідношення невизначеності для енергії і часу залежить від того, чи відбувається еволюція системи за характерний час 
. У стаціонарних станах відсутня еволюція ( 
), тому їм можна приписувати певну енергію.
|
|
|
Більш точні вирази для співвідношення невизначеностей мають вигляд
, (6.32)
де 
- середнє квадратичне відхилення фізичної величини від її середнього значення, яке можна записати таким чином 
.
Для енергії та часу, як показано в квантовій механіці 
Перевіримо чи задовольняє принцип (співвідношення) невизначеності трьом необхідним умовам існування будь-якої теорії: 1) пояснювати попередні факти класичної фізики, 2) пояснювати нові явища, які не змогла пояснити класична фізика і 3) передбачувати нові явища.
|
|
|
По-перше, принцип невизначеності не суперечить дослідам класичної фізики, тому що для макротіл невизначеність знаходиться поза можливостями методів дослідження. Перевіримо це на дослідах спостереження частинок у камері Вільсона (лауреат Нобелівської премії 1927 р). Застосуємо співвідношення невизначеності для електронних треків, коли 
, 
, 
, тоді відносна невизначеність їх швидкості 
дуже мала. Для макроскопічних частинок з масою 
, що рухаються із швидкістю звука 
і для 
що знаходиться поза межами експериментальних можливостей.
Розгляд подібних прикладів дозволив Нільсу Бору сформулювати принцип відповідності, який полягає в тому, що квантова теорія в граничному випадку малих змін (малих квантових стрибків) фізичних величин збігається з існуючою класичною теорією. У випадках великих квантових чисел результати квантового та класичного опису збігаються.Іншими словами, якщо в процесі, що вивчається, беруть участь багато квантів, то рівняння квантової фізики збігаються з класичними рівняннями для усереднених величин.
По-друге, хвильові та корпускулярні явища узгоджуються фактом спостереженням інтерференції частинок. Розглянемо дослід визначення локалізації електрона. Обмежимо його локалізацію отвором у непрозорому екрані. Наявність електрона поза екраном означатиме, що він у певний момент часу знаходився в отворі екрана, тобто його локалізація на осі 
визначалась діаметром отвору 
. Просторовий розподіл електронів, що пройшли крізь отвір, визначається їхньою дифракцією (рис.6.2). Мінімум просторового дифракційного розподілу інтенсивності має місце за умовою:
|
|
|
(6.33)
| Рис.6.2. Дифракція електронів на одній щілині та розподіл інтенсивності I(x). |
де 
- діаметр отвору в екрані. Розсіяння електронів у отворі екрана змінює його імпульс 
у напрямку осі 
. Із трикутника імпульсів (рис.6.3.б) можна визначити
(6.33*)
Виключивши 
з рівнянь (6.34) і (6.34*), знайдемо:
(6.34)
Ми знову отримали співвідношення невизначеностей. Чим менше діаметр отвору, тим більше утворюється розкид електронних імпульсів.
Розглянемо ще один уявний дослід визначенню координати електрона за допомогою 
- мікроскопа (дослід Гейзенберга). Схема досліду наведена на рис. 6.3. Вздовж осі х розповсюджуються електрони з імпульсом 
, а вздовж осі 
- 
- кванти з імпульсом 
. Для того, щоб отримати зображення електрона, потрібно, щоб відбулося розсіяння 
- кванта електроном. Розсіяні кванти формують зображення електрона в площині зображень мікроскопа. Точність локалізації електрона 
залежить від роздільної здатності мікроскопа, яка обмежується дифракцією, тому
|
|
|
|
Рис.6.3. Уявний дослід з g-мікроскопом. |
(6.35)
де 
- довжина хвилі 
- кванта, 
- апертурний кут об'єктива.[18]
При розсіяння 
- кванта його початковий імпульс 
змінюється на величину 
що передається електрону
(6.36)
або з урахуванням формули (6.36)
(6.37)
Ми знову отримали співвідношення невизначеності
.
У свій час було розглянуто дуже багато таких уявних дослідів, і завжди кінцевим результатом було отримано співвідношення невизначеності. Ці властивості Н. Бор назвав принципом доповнення, згідно якому хвильові та корпускулярні властивості частинок є доповненими у тому сенсі, що експеримент, призначений для визначення величини будь-якої хвильової частинки, виключає одночасне точне вимірювання двох різновидів їхніх властивостей, тобто неможливо одночасно вимірювати хвильові і корпускулярні властивості частинок. Ця особливість відбиває об’єктивні риси квантових систем, які не зв’язані з існуванням спостерігача.
По-третє, принцип невизначеності (співвідношення невизначеності) може передбачати нові властивості мікрооб’єктів. Наприклад, оцінимо за його допомогою розмір атома водню та його повну енергію, яка складається з його кінетичної та потенціальної енергій
(6.38)
За допомогою співвідношення невизначеності (6.31) знайдемо імпульс 
. (6.39)
Підставимо 
із (6.38)у формулу (6.37) і знайдемо мінімальне значення 
(6.40)
звідки 
(6.41)
. (6.42)
Одержаним числам не слід надавати великого значення, тому що з нерівності визначаються лише порядки величин. Розрахункові величини 
і 
за порядком величини збігаються з експериментальними значеннями розміру атома водню і його енергії іонізації. Це означає, що включення до складу атома електрона і позитивно зарядженого ядра не суперечить співвідношенню невизначеностей, і тому така система може існувати в природі.
Розглянемо тепер ядро атома. Відомо, що під час 
-розпаду із ядра вилітають 
-частинки (електрони). Можна було б і в цьому разі стверджувати, що до складу ядра входять електрони. Проте це суперечить співвідношенню невизначеностей. Дійсно, розмір атомного ядра за Резерфордом становить 
. Знайдемо із співвідношення невизначеності невизначеність швидкості. Вона становить 
, що значно перевищує швидкість світла 
. Таким чином, приходимо до висновку, що електрон не може входити до складу атомного ядра. Він народжується в процесі 
- розпаду. Обрахуємо також енергію цих електронів.
Вона виявляється значно більшою експериментального значення Е. Отже ми ще раз показали, що електрон не може входити до складу атомного ядра. Подібний аналіз наштовхнув на думку Д. Д. Іваненка і В. Гейзенберга (незалежно) висловити гіпотезу про те, що атомне ядро складається із нейтронів і протонів.
По-четверте, знаючи час життя системи в збудженому стані 
, ми завжди можемо оцінити ширину випромінюваної спектральної лінії, бо
.
Ця оцінка досить добре збігається з експериментальними результатами.
Висновки
1. Мікрооб’єкти мають хвильові та корпускулярні властивості (корпускулярно-хвильовий дуалізм) й тому вони не є ні частинками, ні хвилями в класичному розумінні слова.
2. Стан частинок описується хвильовими функціями ( 
-функціями). Хвильова функція вільної частинки - це плоска хвиля де Бройля ( 
).
3. Мікрочастинки не мають певних траєкторій в класичному розумінні слова. Для них лише зберігаються такі класичні характеристики, як 
- маса та 
- заряд.
4. Мікрочастинка уявляється “розмазаною” в просторі. Квадрат амплітуди хвильової функції 
характеризує густину ймовірності знаходження частинки в даній точці простору. Швидкість мікрочастинки збігається з груповою швидкістю хвиль, які визначають її стан.
5. Оскільки фізичний зміст має 
як густина ймовірності, то хвильова функція повинна задовольняти умовам скінченності, однозначності, неперервності, ортонормованості і принципу суперпозиції. Ймовірний характер поведінки елементарних частинок стає їхньою властивістю, на відміну від класичної фізики, де ймовірність застосовується для опису ансамблів класичних частинок.
6. Хвильові функції дозволяють знаходити середні значення фізичних величин за формулою 
, де 
- оператор фізичної величини. Для координат оператором служить координата, оператор імпульсу дорівнює 
.
7. Принципово неможливо точно вимірювати координату мікрочастинки вздовж даної осі і проекцію імпульсу на ту ж саму вісь. Невизначеність в значеннях 
і 
зв’язані співвідношенням невизначеності 
.
8. Принципово неможливо точно вимірювати енергію частинки через короткий інтервал часу, бо 
. Хвильова функція частинки після вимірювання відрізняється від хвильової функції до вимірювання 
. Чим більше проміжок часу Dt, тим точніше може бути визначена енергія стану. Стаціонарний стан існує нескінченно довго. Тому його енергія має певне значення.
9. Співвідношення невизначеностей не визначає границю пізнання природи, а лише вказує, з якою похибкою можна описувати складний об’єкт, що має хвильові та корпускулярні властивості, за допомогою понять класичної фізики.
10. Співвідношення невизначеностей не стверджує, як в свій час вважали представники копенгагенської школи Бор, Гейзенберг, Йордан та інші, що події розвиваються поза простором та часом. Взаємодія мікрооб’єктів, що мають хвильові та корпускулярнівластивості, така ж сама, як і в класичній фізиці, де події розвиваються у просторі та часі.
11. Співвідношення невизначеностей і сама квантова механіка не порушують принципу причинності. Порушується лише лапласівський детермінізм, бо тепер стан частинки описується ймовірністю. Тому причинно-наслідкові зв’язки тепер виявляються більш складними і визначаються зміною в часі густини ймовірності 
. Ця властивість не є проявом недосконалості квантової механіки, а є наслідком законів, що діють у мікросвіті і вірно відображаються квантовою механікою. Проте це не означає, що квантова механіка є абсолютною істиною і не треба шукати нових шляхів до більш повного розкриття законів всесвіту.
Глава 7. РІВНЯННЯ ШРЕДІНҐЕРА
Рівняння Шредінґера
Стан частинки у вільному від сил просторі, визначається плоскою хвилею де Бройля 
Інші стани описуються більш складними хвильовими функціями. Основна задача квантової механіки це пошуки такого рівняння, розв’язок якого дозволяло б знаходити хвильові функції для всіх станів частинок у будь-яких полях. Таке рівняння, як і інші фундаментальні рівняння фізики, не виводиться, а постулюється на основі узагальнення існуючого досвіду, і перевіряється на різноманітних прикладах його застосування при розв’язуванні конкретних задач.
Рівняння для хвильової функції було запропоновано австрійським фізиком, лауреатом Нобелівської премії 1933 рокуЕрвіном Шредінґером(1887-1961).
Хід його роздумів був приблизно таким.
· По-перше, силові поля, що діють на частинки, повинні бути записані так, щоб їх можна було використати для розв’язку найбільш широкого кола задач. Виявилось, що такі поля зручно описувати потенціальною енергією 
або потенціалом.
· По-друге, хвильове рівняння повинно бути лінійним та однорідним, бо цим буде забезпечено виконання принципу суперпозиції.
· По-третє, одним із розв’язків хвильового рівняння для випадку, коли 
або 
, повинна бути плоска хвиля де Бройля.
· По-четверте, повинен виконуватись закон збереження та перетворення енергії. Для голономної системи,[19] у якій відсутня взаємодія зі сторонніми силами, гамільтоніан системи записується:
(7.1)
де 
- кінетична енергія, 
- потенціальна енергія, 
і 
- узагальнені координати та імпульси відповідно.
Знайдемо тепер таке рівняння, розв’язком якого була б плоска хвиля де Бройля 
Для цього визначимо 
і 
(7.2)
(7.3)
Підставимо (7.2) і (7.3) у вираз для повної енергії 
(7.4)
Ми отримали лінійне, однорідне рівняння, розв’язок якого при 
є плоска хвиля де Бройля. Воно називається рівнянням Шредінґера.
Можна очікувати, що рівняння Шредінґера буде також описувати стани частинок у полях з іншими значеннях потенціалу 
. Це неодноразово перевірялось розглядом багатьох задач, де конкретні умови задачі враховувались вибором потенціалу й граничних умов, і було досить переконливо підтверджено порівнянням з експериментом.
Рівняння Шредінґера має такі основні риси:
· По-перше, воно відрізняється від 
- рівняння хвилі тим, що в нього входить перша, а не друга похідна від часу, і не входить уявне число 
. Тому рівняння називається хвильовим рівнянням, а не рівняння хвилі.
· По-друге, воно нерелятивістське, бо не інваріантне до перетворень Лоренца й не враховує залежності релятивістської маси від 
. Воно також не враховує, що частинки можуть народжуватись й зникати, наприклад, при анігіляції.
· По-третє, хвильове рівняння лінійне та однорідне відносно функції 
. Тобто, якщо 
та 
є розв’язками рівняння Шредінґера, то і їхня лінійна комбінація теж є розв’язком цього рівняння.
· По-четверте, особливості різних систем та випадків ураховуються за допомогою потенціалу
Особливе місце у фізиці займають стаціонарні стани.Вони є фундаментальним вихідним положенням опису фізичного світу. У стаціонарних станах рух частинок не залежить від часу й відбувається при 
. У квантовій механіці, на відміну від класичної механіки, де корпускула рухається в просторі зі зміною часу (за певними траєкторіями), рух корпускул і їх систем розуміють у більш широкому філософському змісті (за Аристотелем), як взагалі зміну стану. Рух у стаціонарному стані зв’язують не з перебуванням у ньому, а зі зміною цього стану. Тому фізику найбільш цікавлять переходи з одного в інший стаціонарний стан. Якщо ми бачимо щось у Всесвіті, то це означає, що Всесвіт не знаходиться в стаціонарному стані, і ми сприймаємо сигнали від переходів між стаціонарними станами.
Хвильові функції стаціонарного стану можуть залежати від часу 
, тому що вони фізично не спостерігаємі величини. Фізичний зміст має лише квадрат модуля хвильової функції, тому вона має бути комплексною:
(7.5)
Тоді густина ймовірності визначається лише тією частиною хвильової функції, яка залежить від координат і не залежить від часу
(7.6)
Підстановкою виразу (7.5) у рівняння Шредінґера (7.4) знайдемо
або
(7.7)
Рівняння (7.7) - це нерелятивістське хвильове рівняння Шредінґера для стаціонарних станів. Окремі випадки визначаються виглядом функції 
З усіх можливих розв’язків рівняння (7.7) вибирають лише хвильові функції, які задовольняють таки вимогам:
- неперервності,
- однозначності,
- скінченності,
- ортонормованості
(7.8)
===========================================================
У випадку трансляційної симетрії, коли 
, частинка не вільна і її спектр дискретний. Однак і в цьому разі можна записати
, (7.8*)
де 
- дельта функція Дірака.
Необхідно окремо розглянути випадок хвильової функції вільної частинки, що рухається в необмеженому просторі
Для фіксованого часу, коли 
,
Нормування цієї функції дає
.
Розглянемо випадок різних 
де 
- дельта - функція Дірака, для якої
Тоді умова нормування записується за допомогою 
–дельта - функції Дірака, яка має розмірність 
:
===========================================================
Аналіз показує, що для випадків, коли 
, задовольнити умовам скінченності, однозначності, неперервності й ортонормованості можналише при певних власних значеннях Е, які можуть бути дискретними або неперервними. Тому розв’язок рівняння Шредінґера дає:
- спектр власних значень Е та
- набір ортонормованих хвильових функцій 
Перехід з одного стаціонарного стану із хвильовою функцією 
і енергією 
до іншого стаціонарного стану з 
і 
відбувається при зміні енергії стану на певну величину 
, наприклад, з випромінюванням або поглинанням кванта електромагнітних хвиль із частотою 
, енергія якого визначається правилом частот Бора:
(7.9)
Для отримання цього правила у системі двох стаціонарних станів скористаємося принципом суперпозиції. Крім станів з 
і 
існує також змішаний стан 
із густиною ймовірності
Підставимо в цей вираз хвильові функції 1-го й 2-го стаціонарних станів у вигляді 0 тоді
(7.9*)
Густина ймовірності стану 
крім сталого члену 
включає інтерференційний член, що гармонічно коливається з частотою Бора 
від значення 
до значення 
. Цей розгляд дозволяє допустити, що перехід між стаціонарними електронними станами супроводжується випромінюванням або поглинанням кванту світла із частотою 
.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 988; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!