Кутовий розподіл густини ймовірності знайти електрон в атомі водню. Електронна хмара.

    Кутова залежність хвильової функції має вигляд

,        (8.15**)

де  a ; ; .

Визначимо кутову залежність густини ймовірності знайти електрон в інтервалі кутів від  до  і від  до

              (8.27)

Вона разом з кутовими залежностями хвильової функції електрона в атомі водню наведена для s, p і  d станів у таблиці 8.1.

       Аналіз виразу (8.27) і таблиці 8.1 дозволяє дійти до висновків:

(1)  густина ймовірності кутового розподілу електронів у полі центральних сил не залежить від кута j, тобто симетрична відносно осі ;

(2)  густина ймовірності кутового розподілу електронів залежить від кута . Існує скінченна ймовірність знайти електрон не тільки в площині , але й при будь-яких кутах q. Отже, розподіл електронів у атомі можна уявляти як електроннухмару з кутовим розподілом, що визначається через ;

(3) збільшення  і  наближає кутовий розподіл електронів до площини .

Атомні орбіталі атома водню

    Одноелектронні хвильові функції  називаються атомними орбіталями. Для одноелектронного атома водню його атомні орбіталі збігаються з повними його хвильовими функціями. Однак, для багатоелектронних атомів хвильова функція більш складна. Принцип суперпозиції дозволяє за допомогою лінійної комбінації хвильових функцій атома водню, конструювати атомні орбіталі складних атомів. Особливе значення має кутовий розподіл електронної густини, що визначається кутовою частиною хвильової функції або кутовою частиною атомних орбіталей. Вони визначають анізотропію розподілу електронної густини, що, як буде пізніше показано, виявляється корисним для описання хімічного зв’язку. Зокрема, анізотропія атомних орбіталей є причиною появинаправлених хімічних зв’язків.

Таблиця 8.1. Кутова залежність хвильової функції електрона в атомі Н.

Наведемо приклади атомних орбіталей. Користуючись принципом суперпозиції, замість комплексних хвильових функцій сконструюємо їх лінійні комбінації, які є дійсними функціями:

. (8.28)

Підставимо в (8.28) значення функцій (8.15**). Тоді

лінійні комбінації хвильових функцій - це дійсні функції, якими зручно користуватися.

       Скориставшись таблицею 8.1, наведемо приклади кутових залежностей атомних орбіталей для s, p і d станів:

1. s - стан; ~ Const; s- орбіталь сферично симетрична;

2. p - стан; лінійні комбінації дають 3 функції: р_x-орбіталь ; р_y-орбіталь;

3. р_z-орбіталь, індекси яких вказують, що кутові залежності орбіталей збігаються з кутовими залежностями у формулах перетворення декартових координат у сферичні:

      

4. d – стан;

; ; ;

лінійні комбінації дають 5 d - атомних орбіталей, назви яких зв'язані, як і для р – орбіталей, з формулами перетворення декартових координат на сферичні. Формули для них наведені у таблиці 8.2.

 

Таблиця 8.2. Формули для d – орбіталей

 

На рис.8.1 схематично наведено просторовий розподіл атомних орбіталей, з якого видно, що кутовий розподіл електронних хмар анізотропний. Існують напрямки, вздовж яких, головним чином, направленийкутовий її розподіл.

Рис.8.1. Поверхні, що обмежують s-, p- i d- орбіталі. Знаки визначаються знаками хвильових функцій.

 

8.5. Фізичний зміст квантових чисел  та

Запишемо вираз для кінетичної енергії електрона в сферичних координатах

,                  (8.29)

де                                                                       (8.30)

                           (8.31)

Оператор кінетичної енергії має вигляд

.                    (8.32)[23]

Порівнюючи вираз для кінетичної енергії (8.29) з виразом для її оператора (8.32), можемо встановити вигляд оператора кутового моменту кількості руху

.        (8.33)

Його власні функції знаходяться із рівняння:

                                               (8.34)

або

.                             (8.34*)

Кутова частина рівняння Шредінґера (8.16) має подібний до (8.34*) вигляд

Порівнюючи (8.16) і (8.34*), бачимо, що вони тотожні тоді, коли

 і .

Тому можна дійти довисновку, що квадрат моменту кількості руху електрона в полі центральних сил визначається квантовим числом

,                                         (8.35)

де квантове число  набуває значення

В спектроскопії стаціонарні стани руху з різними квантовими числами  позначаються буквами, а саме:

 

	0	1	2	3	4
стан

У s-стані з  момент кількості руху дорівнює нулю .

Можна також довести вираз для оператора проекції моменту кількості руху на вісь  

.                                                (8.36)

Дійсно, , а . Коли перейти від декартових до сферичних координат за допомогою співвідношень , то отримаємо формулу (8.36).

, тому .

 

Тепер запишемо основне рівняння квантової механіки для проекції моменту кількості руху

                                               (8.37)

або з урахуванням (8.36)

                                  (8.37*)

Рівняння (8.37*) має такий загальний розв’язок:

                                      (8.38)

який збігається з виглядом хвильової функції електрона від кута  в атомі водню . Підставивши її в рівняння (8.37), отримаємо  - проекцію кутового моменту на вісь :

                                       (8.39)

Отже згідно формулі (8.39) фізичний зміст квантового числа m полягає в тому, що воно визначає проекцію моменту кількостіруху електрона на напрямок осі . Воно змінюється від  до, тобто може мати  значень:

.

Число  називається магнітним квантовим числом. Коли відоме число , то стає відомим значення  Це дозволяє за допомогою (4.21*) знайти значення проекції магнітного моменту

,                            (8.40)

де  - гіромагнітний фактор, рівний 1 для орбітального моменту кількості руху . Із співвідношення (8.40) можна записати

                                                             (8.41)

де   = магнетон Бора.

Магнітний момент визначається за формулою

. Його проекції мають вигляд:

,

де

Оскільки і  - дійсна функція, то із всіх проекцій лише . Тоді

 

За допомогою хвильових функцій ми отримали відношення проекції магнітного моменту до механічного таке, як і раніше в теорії Бора.

===============================================

Таким чином, формула (8.41) вказує, що фізичний зміст квантового числа m полягає в тому, що воно визначає проекцію магнітного моменту на напрямок вісі z.

 

8.6. Просторове квантування

Формула (8.39) є умовою просторового квантування. Просторове квантування полягає в тому, що при вимірюванні проекції моменту кількості руху  ми обов’язково отримаємо значення, кратне , і цих проекцій буде стільки, скільки значень має магнітне число .

До вимірювання  хвильова функція будь-якого фізичного стану  може бути представлена у вигляді суперпозиції  власних значень оператора проекції моменту кількості руху , які розрізняються значеннями магнітного квантового числа

.                     (8.42)

До вимірювання вектор  не має визначеної орієнтації у просторі.

Після вимірювання, в процесі якого треба обов’язково прикласти силове поле вздовж осі , фіксується певне значення проекції моменту кількості руху . Ймовірність знайти цю проекцію визначається величиною . Тому, після вимірювання хвильова функція  відрізняється від її значення  до вимірювання  

У квантовій механіці строго доводиться, що  - оператори проекцій моментів кількості руху на вісях  і   не комутують між собою, тобто виконуються такі співвідношення

                                 (8.43)

Ці співвідношення можна досить просто довести, якщо згадати, що оператори моменту кількості руху і його проекції мають такий вигляд

Рис.8.2. Прецесія моменту кількості руху.

       Некомутативність, або виконання співвідношень (8.43), означає, що одночасно не можна точно вимірювати хоча би дві проекції моменту кількості руху.Вимірювання проекції моменту кількості руху уявно допускає, що для цього потрібно включити поле, щоб визначити напрям осі, на яку проектується момент кількості руху. Наявність поля призводить до появи моменту сил, під дією якого починається прецесія моменту кількості руху навколо цієї вісі. Вектор моменту кількості руху починає обертатись навколо цієї осі і тому дві інші проекції стають невизначеними (рис.8.2). Тому оператор моменту кількості руху не має власних функцій і власних векторних значень. Некомутативність проекцій вектора  є наслідком того, що вектор  залежить від  і , які не можна, згідно співвідношення невизначеності, одночасно вимірювати, тому що

Разом з тим одночасно можна визначати  і , бо вони комутують

                              (8.44)

Ці співвідношення можна також перевірити підставивши вирази для проекцій моменту кількості руху (8.43) і вираз для оператора квадрата моменту кількості руху (8.33) у (8.44).

Комутативність  і однієї із його проекцій  означає, що їх можна одночасно вимірювати, але вимірювання призведе до невизначеності двох інших проекцій моменту кількості руху. Покажемо це на такому прикладі. Нехай задано значення квантового числа . Воно визначить величину квадрата моменту кількості руху

або його абсолютну величину при будь-якому

.           (8.45)

Із співвідношення (8.45) видно, що вимірювання максимального значення проекції моменту кількості руху, наприклад _, призводить до того, що  і  стають невизначеними, бо

.                           (8.46)

Можливість вимірювати одночасно момент кількості руху і одну із його проекцій називається просторовим квантуванням. Як видно, просторове квантування в квантовій механіці суттєво відрізняється від просторового квантування в моделі Бора-Зомерфельда тим, що  і  не повністю визначає орієнтацію моменту кількості руху у просторі.

Рис.8.3. Проекції кутового моменту кількості руху при  і .

До вимірювання ми їх не знаємо. Після вимірювання ми знаємо лише  і одну із його протекцій . На схематичному рис. 8.3 наведені можливі випадки вимірювання абсолютного значення моменту кількості руху і його проекції для двох випадків: для  і . Процесія вектора  під час вимірювання однієї з проекцій (рис.8.2) створює невизначеність для двох останніх його проекцій.

 

---

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 760; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая21222324252627282930Следующая ⇒

---

Мы поможем в написании ваших работ!