Прозорість потенціального бар’єра (тунелювання)



 

Розглянемо для визначеності прямокутний одновимірний потенціальний бар’єр, зображений на рис.7.4. Нас буде цікавити випадок, коли , тому що в протилежному випадку, коли  набагато більше , частинка рухається у вільному від полів просторі, як класична частинка з неперервним спектром енергій.

Рис.7.4. Прямокутний бар’єр.


Поділимо весь простір на три області 1, 2 і 3, як це показано на рис.7.4, і запишемо для цих трьох областей рівняння Шредінґера для стаціонарних станів

                           (7.20)

де

                                     (7.21)

                                   (7.21*)

Для випадку

                 (7.22)

Розв’язок рівнянь (7.19) мають вигляд:

                       (7.23)

                   (7.24)

Довільну сталу  можна покласти рівній , а сталу , тому що в області 3 і хвиля  не відбивається, а лише розповсюджується вздовж осі . Останні сталі визначимо з умов неперервності хвильових функцій:

       (7.25)

==========================================================

Рис. 7.5. Бар’єр «сходинка».

Додаткову умову неперервності похідної хвильової функції можна довести, коли замість різкого розглянути плавний бар’єр (рис.7.5). . За теоремою про середнє значення . Із цих двох співвідношень запишемо . Тоді  при ].

===========================================================

 

Підставимо в (7.25) значення хвильових функцій (7.23 і 7.24)

                          (7.25*)

Розв’язок системи рівнянь (7.25*) дозволяє знайти  і .

==========================================================

Дійсно, запишемо систему рівнянь (7.25*) з урахуванням (7.22):

                     (7.25**)

З 3-го та 4-го рівнянь (7.25*) знайдемо  і через

         (7.25***)

і підставимо їх у перші два рівняння (7.25*). Тоді

              (7.25****)

Для випадків, коли , вираз (7.25****) спрощується до

                          (7.25*****)

==========================================================

Вираз для квадрата модуля А3 має вигляд:

             (7.26)

де

                    (7.27)

Знайдемо коефіцієнт прозорості, який визначається відношенням потоку частинок , що пройшли через бар’єр, до потоку падаючих частинок .

                                              (7.28)

Доведемо квантомеханічний вираз для потоку частинок через хвильові функції. Для цього сконструюємо вираз, який збігається із законом збереження кількості частинок у нерелятивістській області енергій[20]

                                          (7.29)

де  - густина частинок,  - потік частинок. Густина частинок пропорційна густині ймовірності, тому . Запишемо рівняння Шредінґера для  та  функцій та помножимо перше з них на , а друге - на

                          (7.30)

Різниця між правими та лівими частинами рівнянь (7.30) має вигляд:

,                         (7.31)

де

Порівнявши (7.31) з (7.29), остаточно запишемо, що

,                             (7.32)

а густина електричного струму визначається добутком

.                     (7.33)

Повернемося тепер до обчислення прозорості потенціального бар’єра. Для цього знайдемо  та .

(7.34)

Аналогічно отримаємо

. (7.35)

Скориставшись виразами (7.34) і (7.35) для  і , знайдемо прозорість бар’єра

,

де   тобто

                                   (7.36)

Таким чином, електрони (або інші частинки) можуть із певною ймовірністю  проникати крізь потенціальний бар’єр скінченої висоти . Це явище, що не має класичного аналога, називається тунелюванням або тунельним ефектом. Експериментально тунельний ефект спостерігається для тонких потенціальних бар’єрів, коли . У таблиці 7.2 наведені коефіцієнти прозорості прямокутних бар'єрів різних товщин.

Таблиця 7.2. Прозорість прямокутного потенціального бар'єра при  і різних значення його ширини .

a [Å] 1 2 5 10
0,1 8´10-3 5´10-7 1,4´10-8

З таблиці 7.2 видно, що для , прозорість бар’єра має скінчені значення лише для сумірних з атомними розмірами. При більших , коли , то його прозорість прямує до нуля .

Формулу для прозорості бар’єра можна узагальнити для бар’єра довільної форми, якщо на відстанях сумірних із довжиною хвилі де Бройля суттєво не змінюється швидкість електронів. У цьому випадку бар’єр можна розбити на безліч прямокутних дуже тонких бар’єрів, як це показано на рис.7.6. За формулою (7.36) прозорість бар’єра товщиною  дорівнює

.

Повний коефіцієнт прозорості бар’єра дорівнює добуткові парціальних коефіцієнтів прозорості

.

При малих значеннях  сума в показнику експоненти переходить в інтеграл. Тому в загальному вигляді

.                       (7.37)

Рис.7.6. Потенціальний бар’єр довільної форми.


Звернемо увагу на такий парадокс. Коли в межах бар’єра повна енергія частинки менша за потенціальну енергію  то це означає, що кінетична енергія частинки від’ємна. Проте парадокса ніякого не має, тому що згідно співвідношення невизначеності невизначеність кінетичної енергії більша за  Дійсно,

 .

Тунелювання можна спостерігати експериментально. Наведемо деякі приклади. Спочатку розглянемо тунельну емісіюелектронів. Нехай у першому наближенні потенціальний бар’єр на поверхні твердого тіла має форму сходинки висотою , як це показано на схематичному рис.7.7. Прикладемо різницю потенціалів  між плоскими катодом та анодом. Вона створює електричне поле з напруженістю . На рис.7.7 залежність  зображена прямою лінією, де  -напруженість електричного поля  Як видно з рис.7.7, сумісна дія двох полів створює трикутний потенціальний бар’єр. Знайдемо коефіцієнт прозорості цього бар’єра за формулою (7.37). Для цього потрібно обчислити інтеграл у показнику ступеня 

,                   (7.38)

де розглянуто випадок, коли енергія електронів .

Рис.7.7. Трикутний потенціальний бар’єр.


Підставимо (7.38) у формулу (7.37) для прозорості бар’єра

,                                  (7.39)

де .

Густина струму повинна бути прямо пропорційною коефіцієнту прозорості бар’єра  і струм може йти навіть при .Експериментально дійсно спостерігається тунельний струм, який має такі властивості:

· струм має скінчене значення навіть при ;

· не виявляється калоричного ефекту, тому що катод не охолоджується, тобто під час емісії не витрачається енергія;

· логарифм густини тунельного струму обернено пропорційний напруженості електричного поля  Усі ці властивості спостерігаються експериментально. Таким чином, тунельна емісія досить добре пояснюється за допомогою розгляду процесу проходження електронів крізь потенціальний бар’єр.

Тунельна емісія знайшла практичне застосування:

- по-перше, як джерело вільних електронів із дуже великою густиною струму (106¸109 А´см-2),

- по-друге, як джерело інформації про структуру катода в автоелектронному проекторі,

- по-третє, як явище інжекції електронів у напівпровідникових інтегральних схемах,

- по-четверте, як джерело інформації в растрових тунельному мікроскопі й спектрометрі тощо.

Тунелювання спостерігається не тільки для електронів але й для інших частинок і є загальною їх рисою, зв’язаною із хвильовими властивостями частинок. Наприклад, за допомогою тунелювання можна пояснити особливості - розпаду атомних ядер, а також появу при цьому -частинок малих енергій. При -розпаді радіоактивних атомів полонію  вилітає a-частинка з енергією  і часом напіврозпаду сек . Коли -частинка знаходиться в ядрі з радіусом , то її енергія буде . У той же час енергія -частинки, що вилітає з ядра, значно менша за її енергію в ядрі. Така ситуація може бути лише в тому разі, якщо допустити, що -частинка тунелює крізь потенціальний бар’єр, що існує на границі атомного ядра (рис.7.8). Задачу про тунелювання -частинки вперше сформулював і розглянув уродженець міста Одеси, видатний російський учений Георгій Антонович Гамов.

Розв’язок такої задачі показав, що прозорість бар’єра для -частинки має скінчене значення, достатнє для пояснення -розпаду ядра. Кількість актів -розпаду  за інтервал часу  повинно бути пропорційною  - кількості ядер, що можуть розпадатись,  - прозорості бар’єра для -частинок, кількості співударів -частинки з бар’єром  і інтервалу часу

                                                     (7.40)

Рис.7.8. Схема потенціального бар'єра атомного ядра


Після інтегрування (7.40) отримуємо закон радіоактивного розпаду Кюрі

.                                   (7.40*)

У реальних дослідах зручно вимірювати  – період напіврозпаду радіоактивної речовини, коли . Із (7.40*) можна отримати

.                       (7.40**)

Кількість зіткнень -частинки з бар’єром ядра легко оцінити. знаючи їх середню швидкість у ядрі

.                                      (7.41)

Оцінимо швидкість -частинки в ядрі  за допомогою співвідношення невизначеності  і підставимо її у (7.41)

                              (7.41*)

Вираз (7.41*) вказує, що n не залежить від енергії a-частинки, тому для визначення енергетичної залежності  необхідно розглянути прозорість бар’єра , який залежить від енергії частинок , що тунелюють.

За допомогою (7.37) запишемо вираз для прозорості бар’єра

ядра, у якого згідно рис.7.8 ,

.   (7.42)

Тут 

.                        (7.42*)

Обчислимо інтеграл у (7.42*) заміною змінних .

Коли , то  Звідки

. (7.42***)

Підстановкою (7.42***) у співвідношення (7.42**) для  й виразу для   у вираз (7.40**) для  маємо

,                                              (7.43)

де              .                   (7.43*)

Виявляється, що розрахункові значення періоду напіврозпаду  збігаються з експериментальними. Крім того експеримент, як і розрахунок дає однакові енергетичні залежності . Ця залежність (7.43) отримала назву закона Гейгера-Нетола. Отже, цей приклад показав, що має місце також і тунелювання  - частинок. У подальшому було експериментально показано наявність тунелювання й інших частинок.

Оператори

           Повернемося тепер до розгляду рівняння Шредінґера (7.7) для стаціонарних станів

або в операторному вигляді

                                              (7.44)

де                                                                          (7.44*)

Вираз  - називається гамільтоніаном. Він є оператором, який включає диференціальний оператор Лапласа  і функцію координат .[21] Цей оператор, як і будь-який інший оператор , діючи на довільну функцію , переводить її в іншу функцію . Специфіка рівняння Шредінґера полягає в тому, що гамільтоніан , діючи на хвильову функцію  відтворює її з точністю до числового множника рівного .

Аналізуючи плоску хвилю де Бройля, ми отримали такі вирази для імпульсу й енергії:

                                            (7.45)

тому можна вважати, що операторами імпульсу й енергії у квантовій механіці будуть мати такий вигляд:

                                                  (7.45)

                                                   (7.46)

Оператором будь-якої функції, яка залежить лише від координат у квантовій фізиці буде сама функція. Наприклад, оператором потенціальної енергії  буде сама функція  Знаючи оператори координат, імпульсів і енергій, можна знайти оператори інших фізичних величин, наприклад, моменту імпульсу і його проекцій

                                                     (7.47)

Операторні рівняння (7.44¸7.47) указують, що середні значення фізичних величин у квантовій механіці визначатимуться за формулою

                                      (7.48)

Формула (7.480) безпосередньо зв’язана з основним співвідношенням квантової механіки для власних значень фізичних величин

                                                  (7.49)

Ця формула вже використовувалась у §6.3 для знаходження середнього значення імпульсу.

Оператори фізичних величин повинні задовольняти двом умовам:

по-перше, лінійності, бо їх власні функції задовольняють принципу суперпозиції;

по-друге, само спряженості , бо їх середні значення – це дійсні спостережувальні фізичні величини. Такі оператори називаються ермітовими операторами.

Таким чином, у квантовій механіці зв’язок між числовими значеннями фізичних величин замінюється операторним зв’язком цих величин. При цьому визначаються власні значення й власні функції відповідних операторів. Рецепт побудови оператора фізичної величини  полягає в тому. Що для операторів координат вибирають координати, а для імпульсів згідно (7.45) . Наприклад, величина Е це можливе значення енергії частинки в силовому полі , яке вимірюється з імовірністю, що визначатиметься квадратом модуля відповідної власної хвильової функції . Сукупність власних значень оператора дасть спектр допустимих значень фізичної величини цього оператора. Більш детально властивості операторів будуть вивчатись в курсі квантової механіки, але на закінчення цього розділу зауважимо, що коли оператори фізичних величин комутують, тобто виконується співвідношення

,                                    (7.50)

то можливе одночасне вимірювання фізичних величин цих операторів. Якщо ці оператори не комутують, тобто

,                                (7.51)

то не можливо одночасно вимірювати відповідні фізичні величини з довільним ступенем точності. Зокрема, оператори імпульсу й координати не комутують, у чому просто впевнитись на прикладі плоскої хвилі де Бройля:

Не комутують також оператори енергії й часу  Некомутативність операторів є проявом співвідношень невизначеності.

Висновки

1. Формули, які в класичній фізиці виводились для зв’язку між числовими значеннями фізичних величин, у квантовій механіці потрібно розглядати як формули, що зв’язують оператори цих величин. Зокрема, для середніх значень фізичних величин застосовуються співвідношення такого виду , де  - оператор відповідної фізичної величини .

2. Стан, у якому деяка фізична величина  має певне значення  описується y-функцією, яка є розв’язком операторного рівняння .

3. Операторні рівняння повинні давати дійсні значення фізичних величин, бо дійсні величини дає експеримент. Це означає, що ці оператори повинні бути ермітовими (лінійними і самоспряженими).

4. Хвильові функції й власні енергії систем, що знаходяться в довільних полях, описуються в нерелятивістському випадку рівнянням Шредінґера, яке є операторним рівнянням для енергії  Для стаціонарних станіввоно має вигляд  де - гамільтоніан, для нестаціонарних станів  .

5. Фізичний зміст мають лише  - квадрати модулів хвильових функцій і власні значення відповідних операторів.

6. З усіх можливих розв’язків операторних рівнянь фізичний зміст мають лише однозначні, неперервні, скінчені й ортонормовані функції.

7. Оператори імпульсу й координат, а також енергії й часу некомутативні, бо вони задовольняють умові . Ця умова є проявом співвідношень невизначеності, які вказують, що ці величини принципово неможливо одночасно вимірювати з довільною точністю.

8. Спектри власних значень операторів фізичних величин залежить від форми потенціалу  і можуть бути неперервним або дискретним. Дискретний спектр власних енергій мають системи, що, наприклад, утворюється у випадку потенціальних ям, квазіпружної сили (осцилятор), кулонівських ям точкових зарядів тощо.

9. Окремі приклади розв’язку рівняння Шредінґера показали, що спектр енергії стаціонарних станів може суттєво відрізнятись від станів класичної фізики. Крім того, виникають нові явища, що не мають місця в класичній фізиці такі, як тунелювання, квантовий розмірний ефект тощо.

10.  У таблиці 7.3 наведені приклади ермітових операторів фізичних величин, які найбільш часто використовуються в атомній фізиці.

Таблиця 7.3. Оператори фізичних величин

Фізична величина Оператор
Координата
Імпульс
Момент кількості руху
   
Квадрат моменту кількості руху
Квадрат моменту кількості руху  у сферичних координатах
Проекція моменту кількості руху на вісь z
Потенціальна енергія
Кінетична енергія
Кінетична енергія в сферичних координатах де
Повна енергія
Повна енергія в сферичних координатах

11. Досить зручно в атомній фізиці використовувати атомні одиниці (а.о.), бо їх використання значно спрощує вигляд її рівнянь. Атомні одиниці наведені в таблиці 7.4.

Таблиця 7.4. Атомні одиниці

назва СГСЕ А.О. Фізичні величини
Маса 1 маса електрона
Довжина 1 радіус першої борівської орбіти
Заряд 1 елементарний заряд (заряд електрона)
Енергія 1  – стала Рідберга
швидкість   1 швидкість світла у вакуумі
Приведена стала Планка 1 Стала Планка,

 

В атомних одиницях рівняння Шредінґера (7.4) і (7.7) мають вигляд:

                           (7.43)


Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 1672; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!