Область определения, интервалы варьирования и уровни факторов. Кодирование факторов
Областью определения факторов называется диапазон изменения их значений, принятый при реализации плана эксперимента:
. (5.4)
Для двухфакторного эксперимента область определения представляет собой прямоугольник, рис. 5.1 а, для трехфакторного — прямоугольный параллелепипед, рис. 5.1 б, для k-факторного — k-мерный параллелепипед.
Установление области определения факторов — важный этап планирования эксперимента. От его правильного выполнения зависит успех эксперимента. Выбор значимых факторов и области их определения выполняется на основе априорной информации или путем постановки отсеивающего эксперимента.
После выявления значимых факторов области их определения устанавливают их уровни.
Уровнем фактора называется его значение, фиксируемое в эксперименте. Экспериментатор может устанавливать любой уровень фактора в пределах области его определения (5.4).
Различают верхний, нижний и нулевой уровни. Верхний и нижний уровни соответствуют границам области определения (5.4): Xi max и Xi min. Нулевой уровень соответствует середине интервала (5.4):
. (5.5)
Интервалом варьирования называют величину, равную максимальному отклонению уровня фактора от нулевого:
. (5.6)
|
|
|
Для дальнейшего планирования эксперимента целесообразно перейти от натуральных значений факторов к кодированным. Кодированным называется значение
, (5.7)
 |
где Xi — натуральное значение i-го фактора на некотором уровне. Кодированные значения любого фактора на нижнем, верхнем и нулевом уровнях составляют xi min = –1; xi max = 1; xi 0 = 0. Область определения кодированных факторов для двухфакторного эксперимента представляет собой квадрат, рис. 5.2, для трехфакторного — куб, для k-факторного — k-мерный куб.
В дальнейшем как планирование эксперимента, так и обработка экспериментальных данных выполняются с использованием кодированных значений факторов. При составлении плана это дает такие преимущества:
— кодированные значения безразмерны, что позволяет сравнивать между собой уровни различных физических величин;
— кодированное значение уровня фактора, в отличие от натурального, дает представление о положении уровня относительно границ интервала;
— использование кодированных значений значительно облегчает разработку матрицы планирования эксперимента.
|
|
|
При обработке результатов эксперимента и аппроксимации этих результатов полиномами вида (5.1) или (5.2), в которых натуральные значения факторов Xi заменены кодированными значениями xi, использование кодированных значений позволяет:
— значительно упростить вычисления;
— получить возможность сравнивать коэффициенты уравнения.
Поскольку кодированные значения xi безразмерны и изменяются в одинаковых интервалах [–1; +1], то все коэффициенты полинома имеют одинаковую размерность, равную размерности параметра Y, а величина коэффициентов однозначно определяет степень влияния данного члена полинома на величину параметра. Исключив из уравнения члены, коэффициенты при которых малы, можно значительно упростить полученную зависимость.
Матрица планирования полнофакторного эксперимента
План эксперимента принято составлять в виде матрицы планирования — таблицы, каждая строка которой соответствует некоторому сочетанию уровней факторов, которое реализуется в опыте.
Существует несколько приемов построения матрицы. При фиксации каждого фактора только на двух уровнях (–1 и +1), наиболее распространен прием чередования знаков.
|
|
|
Прием состоит в том, что для первого фактора знак меняется в каждой следующей строке, для второго — через строку, для третьего — на каждой четвертой строке и т.д. Построенные таким образом матрицы для двух, трех и четырех факторов приведены в табл. 5.1. Фактор x0 — фиктивный и введен для удобства определения свободного члена полинома b0. Значение фактора x0 всегда равно +1.
Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств, позволяющих проверить правильность их составления.
Таблица 5.1 — Матрицы планирования ПФЭ 22, 23 и 24
| Номер опыта | Факторы | Параметр | |||||
| x0 | x1 | x2 | x3 | x4 | |||
| 1 | +1 | +1 | –1 | –1 | –1 | Y1 | |
| 2 | +1 | –1 | –1 | –1 | –1 | Y2 | |
| 3 | +1 | +1 | +1 | –1 | –1 | Y3 | |
| ПФЭ 22 | 4 | +1 | –1 | +1 | –1 | –1 | Y4 |
| 5 | +1 | +1 | –1 | +1 | –1 | Y5 | |
| 6 | +1 | –1 | –1 | +1 | –1 | Y6 | |
| 7 | +1 | +1 | +1 | +1 | –1 | Y7 | |
| ПФЭ 23 | 8 | +1 | –1 | +1 | +1 | –1 | Y8 |
| 9 | +1 | +1 | –1 | –1 | +1 | Y9 | |
| 10 | +1 | –1 | –1 | –1 | +1 | Y10 | |
| 11 | +1 | +1 | +1 | –1 | +1 | Y11 | |
| 12 | +1 | –1 | +1 | –1 | +1 | Y12 | |
| 13 | +1 | +1 | –1 | +1 | +1 | Y13 | |
| 14 | +1 | –1 | –1 | +1 | +1 | Y14 | |
| 15 | +1 | +1 | +1 | +1 | +1 | Y15 | |
| ПФЭ 24 | 16 | +1 | –1 | +1 | +1 | +1 | Y16 |
1. Свойство симметричности — каждый фактор в матрице на верхнем уровне встречается столько же раз, сколько и на нижнем:
|
|
|
, (5.8)
где u — номер опыта, n — количество опытов, n = 2k.
2. Свойство нормировки — каждый фактор в матрице встречается только на уровнях –1 и +1:
. (5.9)
3. Свойство ортогональности — суммы почленных произведений двух любых столбцов равны нулю:
. (5.10)
4. Свойство ротабельности — точки в матрице выбираются так, что точность предсказания параметра одинакова во всех направлениях.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 3592; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!