Сущность подобия. Теоремы подобия
Объекты называются подобными, если по характеристике одного из них характеристику другого можно получить простым пересчетом.
Различают абсолютное и практическое подобие. Абсолютное подобие требует тождества всех процессов в объектах в пространстве и во времени. Практическое подобие требует тождества только тех процессов, которые наиболее существенны для данного исследования.
Теория подобия позволяет:
1. Обоснованно выбрать модель, подобную объекту-оригиналу; определить параметры модели, обеспечивающие это подобие.
2. Пересчитать результаты модельного эксперимента на натурный объект.
3. Обобщить результаты исследований, проведенных в различных условиях и в различных режимах работы.
4. Получить обобщенные зависимости между входными и выходными величинами объекта исследования, которые будут справедливы как для данного объекта, так и для целого класса объектов, подобных ему.
5. Распространить результаты эксперимента, проведенного в данном диапазоне изменения факторов, на более широкие интервалы их варьирования.
Процессы в объекте исследования описываются в общем случае известной или неизвестной системой дифференциальных уравнений связи между параметрами и факторами. Необходимым условием подобия двух объектов является одинаковый вид системы уравнений. Только в этом случае характер процессов в объектах может быть одинаковым и сами объекты можно будет отнести к общему классу.
|
|
|
Если в одном объекте связь между параметром и фактором является линейной, а во втором подчиняется, например, синусоидальному закону, то по характеристикам первого нельзя получить характеристики второго объекта простым пересчетом. Рассматриваемые объекты не могут быть подобными.
Однако одинаковый вид уравнений, описывающих процессы в объектах, является только необходимым, но не достаточным условием подобия. Так, в рассмотренном выше примере динамической системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением, сущность процесса в системе определяется соотношением коэффициентов жесткости ω и демпфирования n. Если ω < n — процесс изменения во времена параметра φ — сходящийся апериодический, а при ω > n — сходящийся колебательный. Рассмотренные процессы принципиально отличаются друг от друга, хотя и описываются уравнениями одинакового вида.
Различными окажутся также процессы, описываемые двумя уравнениями одинакового вида, с численно одинаковыми коэффициентами, при одинаковых начальных условиях, если знаки коэффициентов будут различными. При n < 0 процесс будет колебательным, но не сходящимся, а расходящимся.
|
|
|
Для выделения из множества процессов, описываемых данным видом уравнений, конкретного процесса необходимо располагать значениями коэффициентов при переменных и их производных, а также начальными условиями. Для уравнений в частных производных, кроме того, должны быть известны граничные зависимости. Коэффициенты, начальные условия и граничные зависимости в совокупности являются условиями однозначности процессов.
Подобие кроме одинаковости систем уравнений предъявляет определенные требования и к условиям однозначности. Поясним суть этих требований следующим примером. Предположим, что имеется два объекта. В первом процесс описывается функцией
, (4.1)
где y — параметр; x1, x2, … xn — факторы.
Для второго объекта уравнение процесса имеет вид
, (4.2)
где Y — параметр; X1, X2, … Xn — факторы.
В условия однозначности входят все факторы. Пропорциональность означает, что x1 / X1 = m1, x2 / X2 = m2, …, xn / Xn = mn. Для подобных объектов коэффициенты пропорциональности для сходственных параметров должны быть равны.
Например, если среди факторов для первого объекта имеются две массы — факторы x1 и x2, и для второго — также две массы — факторы X1 и X2, и если первый и второй объекты подобны то должно выполняться условие
|
|
|
или m1 = m2. (4.3)
Аналогичные соображения можно высказать для соответствующих длин, ускорений, усилий и т.д.
Между конкретными величинами (например, массами, ускорениями и силами) в объектах существует определенная функциональная связь, которая предопределяет возможность получения обобщенных характеристик — критериев подобия.
Теория подобия базируется на трех теоремах.
Первая теорема. Необходимым условием подобия двух объектов является равенство соответствующих критериев подобия.
Вторая теорема. Уравнения, описывающие процесс в объекте, могут быть представлены зависимостями между критериями подобия.
Третья теорема. Необходимыми и достаточными условиями подобия объектов являются равенство критериев подобия и пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 977; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!