Определение критериев подобия с использованием теории размерностей
Решение этой задачи состоит из трех этапов.
На первом этапе выбираются фундаментальные переменные — параметры и факторы. Обычно при выборе параметра (выходной переменной) осложнений не бывает — это та величина, для которой мы ищем закономерность.
Для правильного выбора факторов (входных переменных) необходимо глубокое проникновение в суть исследуемого объекта. Часто это требует не только изучения априорной информации, но и постановки предварительных экспериментов. Если после выбора фундаментальных переменных система безразмерных комбинаций не получается, то необходимо возвратиться к анализу объекта исследования.
На втором этапе выбирается система основных единиц для выражения размерностей фундаментальных переменных. В качестве основных рекомендуется принимать основные единицы СИ, табл. 4.1.
Используя размерности основных единиц, можно составить формулы размерностей всех фундаментальных переменных. Например, известно, что сила определяется зависимостью F = ma. Формула размерности силы определяется как произведение формул размерности массы и ускорения
. (4.6)
Записав формулы размерностей всех фундаментальных переменных, описывающих процессы в объекте, устанавливают, какие размерности основных единиц в них входят. Эти единицы и будут составлять систему основных единиц в условиях конкретной задачи.
На третьем этапе определяются критерии подобия с использованием теории размерностей. Для размерной функциональной зависимости 
размерности левой и правой частей должны быть равны:
|
|
|
или 
. (4.7)
Таблица 4.1 – Основные единицы СИ
| Величина | Обозначение | Размерность | Название |
| Единица длины | l | L | метр |
| Единица массы | m | M | килограмм |
| Единица времени | t | T | секунда |
| Единица силы электрического тока | i | I | ампер |
| Единица термодинамической температуры | θ | K | кельвин |
| Единица количества вещества | n | N | моль |
| Единица силы света | j | J | кандела |
Пример. Определение критериев подобия процесса силового взаимодействия шара с обтекающим потоком жидкости.
Схема стенда для определения силы, с которой поток действует на шар, показана на рис. 4.2. Шар помещен в трубопровод настолько большого внутреннего диаметра, что стеснением им потока можно пренебречь. Гибкой нитью шар связан через блок с пружинным динамометром. Усилие F зависит от свойств шара и потока. Если шероховатостью шара можно пренебречь, его свойства определяются одной переменной — диаметром d. Свойства потока оцениваются средней скоростью v, плотностью ρ и вязкостью μ жидкости. Таким образом, в рассматриваемое случае фундаментальных переменных пять: параметр F и факторы d, v, ρ и μ.
|
|
|
 |
Для выбора основных единиц запишем формулы размерностей фундаментальных переменных, табл. 4.2. Из этой таблицы следует, что размерности всех фундаментальных переменных можно выразить тремя основными единицами — M, L и T. Так как число m фундаментальных переменных пять, а число k основных единиц три, то независимых критериев будет m – k = 5 – 3 = 2.
Таблица 4.2 – Формулы размерностей фундаментальных переменных
| Величина | Обозначение | Размерность |
| Сила взаимодействия шара и потока жидкости | F | M L T-2 |
| Скорость жидкости | v | L T-1 |
| Плотность жидкости | ρ | M L-3 |
| Динамическая вязкость жидкости | μ | M L-1 T-1 |
| Диаметр шара | d | L |
Критерий (безразмерная комбинация) в общем случае может быть представлен произведением фундаментальных переменных в определенных степенях. В рассматриваемом случае критерий
, (4.8)
где x, y, z, u, w — показатели степеней. Показатели могут быть целыми, дробными, положительными и отрицательными числами. Они могут принимать и нулевое значение. В последнем случае критерий не будет зависеть от соответствующей фундаментальной переменной.
|
|
|
Представим искомую зависимость в виде
, (4.9)
где a, b, c, e, f — неизвестные показатели степеней.
Если зависимость (4.9) справедлива относительно переменных, то она будет справедлива и относительно размерностей. Подставим в уравнение вместо переменных их размерности. Левую часть уравнения представим произведением размерностей в нулевых степенях:
. (4.10)
Чтобы последнее выражение было справедливым, должны выполняться условия равенства показателей степени для каждой из трех основных единиц:
(4.11)
В трех уравнениях пять переменных. Решив совместно уравнения, можно исключить три переменные. От того, какие переменные исключаются, зависит вид критериев. Все критерии будут формально верными. Однако одни из них имеют физический смысл, а другие – нет. Поэтому решение задачи по установлению вида критериев иногда приходится повторять при различных комбинациях исключаемых переменных. Выразим переменные b, c и e через a и f. Получим
|
|
|
e = – a – f ;
c = –2a – f ; (4.12)
b = –2a – f .
Подставим в выражение (4.9) показатели степеней (4.12):
, (4.13)
Объединим члены, имеющие одинаковые показатели степеней:
, (4.14)
Из последнего выражения следует, что в качестве критериев подобия могут быть приняты комплексы
, 
. (4.15)
Первый является безразмерным усилием. Усилие, действующее со стороны потока на шар, делится на произведение площади квадрата, сторона которого равна диаметру шара (d 2) и удвоенного скоростного давления ρv2.
Так как μ / ρ = γ — кинематический коэффициент вязкости жидкости, а v d / γ = Re — число Рейнольдса, то критерий π2 = Re-1. По теории подобия произведение, частное нескольких критериев или возведение их в произвольную степень дадут новый критерий. Таких критериев можно получить бесчисленное множество. Однако независимых среди них будет только m – k критериев. Следовательно, можем избавиться от показателя степени и принять π2 = Re.
При установлении зависимости силы от определяющих факторов без перехода к безразмерным комбинациям необходимо фиксировать диаметр, скорость, плотность и вязкость на определенном числе уровней, например на пяти. Для плотности и вязкости независимые изменения при этом практически реализовать нельзя.
 |
После перехода к безразмерным комбинациям при постановке эксперимента необходимо изменять только одну из входных величин. Проще всего изменению поддается скорость. Установив пять уровней скорости, получим пять соответствующих уровней числа Рейнольдса. Измерив усилие, определим величину безразмерного усилия и построим график зависимости безразмерного усилия взаимодействия шара с потоком жидкости от числа Рейнольдса, рис. 4.3. Полученная зависимость будет справедлива для шара любого размера, находящегося в потоке жидкости любой плотности и вязкости.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 946; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!