Экстремумы функций нескольких переменных
Точка M (x0, y0) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f (x, y), если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (x, y) из этой окрестности выполняется неравенство 
. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
ПРИМЕР: На рис. 19 точка О (0, 0) является точкой минимума функции 
.
Необходимый признак экстремума
Если точка M (x0, y0) является точкой локального экстремума дифференцируемой функции z = f (x, y), то частные производные первого порядка, вычисленные в этой точке, равны нулю:
|
Необходимый признак экстремума можно сформулировать и так: если точка M (x0, y0) является точкой локального экстремума дифференцируемой функции z = f (x, y), то вектор градиента этой функции в этой точке будет нулевым вектором, т.е. 
.
Точки, в которых частные производные первого порядка функции двух переменных равны нулю, называются стационарными точками.
Для формулировки достаточного признака экстремума функции двух переменных нам понадобится матрица дифференциала второго порядка этой функции, записанного в виде квадратичной формы:
А также определитель этой матрицы, который можно записать в следующем виде: 
Достаточный признак экстремума
| Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности стационарной точки М и имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка, равные А, В и С. Тогда, если определитель Δ = АВ – С2 > 0, то в данной стационарной точке М функция z = f (x, y) имеет экстремум, причем, если A < 0, то максимум, если A > 0, то минимум. Если Δ < 0, то в точке М экстремума нет. |
|
|
|
Замечание. Если в стационарной точке М: Δ = АВ – С2 = 0, то наличие экстремума возможно, но для этого требуется проведение дополнительных исследований.
ПРИМЕР: Найти экстремумы функции 
Вычислим частные производные первого и второго порядка данной функции:
Для нахождения стационарных точек приравняем к нулю частные производные первого порядка и получим систему уравнений:
или: 
Решая эту систему, получим две стационарные точки М(0, 0) и N(1, 1/2).
Для выяснения наличия экстремумов и их характеров в этих точках вычислим значения частных производных второго порядка последовательно в каждой точке.
Для стационарной точки М(0, 0) получим:
Поскольку: Δ = АВ – С2 = - 36 < 0, в этой стационарной точке экстремума нет.
Для стационарной точки N(1, 1/2) получим:
Поскольку Δ = АВ – С2 = 108 > 0 и A = 6 > 0, заключаем, что в этой стационарной точке будет локальный минимум данной функции. Причем значение функции в точке минимума будет равно 0.
|
|
|
Метод наименьших квадратов
В практических приложениях, в том числе и экономических, часто возникает задача сглаживания некоторых экспериментально полученных зависимостей. То есть задача по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y от x, исключив случайные отклонения от этой общей тенденции, обусловленные неизбежными погрешностями экспериментальных или статистических данных. Такую сглаженную зависимость обычно ищут в виде формулы. При этом формулы, служащие для аналитического представления зависимостей опытных или экспериментальных данных, принято называть эмпирическими.
Задача поиска подходящей эмпирической формулы обычно разбивается на два основных этапа. На первом этапе устанавливают, или выбирают, общий вид такой зависимости y = f (x), т.е. решают, является ли данная зависимость линейной, квадратичной, показательной, логарифмической и т.д. При таком выборе часто привлекаются дополнительные соображения, как правило, нематематического характера. На втором этапе находят неизвестные параметры выбранной эмпирической функции, используя только массив экспериментально полученных данных.
Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров эмпирической функции f (x) выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов “невязок” δi (отклонений “теоретических” значений функции от экспериментально полученных значений) была бы минимальной, т.е.:
|
|
|
,
где 
и 
- экспериментальные данные, а n – общее количество пар этих данных.
Рассмотрим простейшую задачу такого рода. Пусть в качестве эмпирической функции выбрана линейная функция, т.е. 
(рис. 22), и необходимо найти такие значения параметров a и b, которые доставят минимум функции: 
.
Рис. 22.
Очевидно, функция 
будет функцией двух переменных a и b до тех пор, пока не найдены и не зафиксированы их “наилучшие” значения, поскольку все и есть постоянные числа, найденные экспериментально. Поэтому для нахождения параметров прямой, наилучшим образом согласованной с опытными данными, достаточно решить систему уравнений:
После соответствующих вычислений производных и тождественных преобразований эта система может быть представлена в виде системы нормальных уравнений:
|
|
|
Эта система линейных уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено по правилу Крамера:
;
Таким образом, наилучшим линейным приближением экспериментальной зависимости по методу наименьших квадратов будет являться прямая 
.
ПРИМЕР: Зависимость между прибылью предприятия Y и стоимостью основных фондов Х, выраженных в условных единицах, задается таблицей.
| Х | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 |
| Y | 25 | 27 | 33 | 42 | 40 | 49 | 60 |
Для выяснения вида эмпирической формулы связи построим график экспериментальной зависимости (кружки на рис. 23). По расположению экспериментальных точек на графике можно предположить, что зависимость между Х и Y является линейной, т.е. имеет вид:
Рис. 23.
Для определения числовых значений параметров а и b проведем расчет коэффициентов системы нормальных уравнений, а для удобства сведем вычисления в таблицу.
|
|
| 
| 
|
| 1 2 3 4 5 6 7 | 50 60 70 80 90 100 110 | 25 27 33 42 40 49 60 | 2500 3600 4900 6400 8100 10000 12100 | 1250 1620 2310 3360 3600 4900 6600 |
| 560 | 276 | 47600 | 23640 |
По данным таблицы:
Подставляя найденные значения (с учетом того, что n = 7) в формулы для расчета параметров а и b, найдем:
Таким образом, эмпирическая зависимость имеет вид (на рис. 23 изображена сплошной прямой): y = 0,557x – 5,143.
Рекомендуемая литература по теме 6:[1 ÷ 3].
ВОПРОСЫ для самоконтроля знаний по теме 6:
1. Задает ли уравнение 
функцию нескольких переменных?
____________________________________________________________
2. Является ли функция 
непрерывной?
____________________________________________________________
3. В некоторой точке М частная производная по х функции y = f (x, y) равна нулю. Можно ли утверждать, что точка М является точкой экстремума этой функции?
____________________________________________________________
4. Пусть в стационарной точке Δ > 0 и вторая частная производная по х положительна. Какой экстремум будет иметь место в этой точке?
____________________________________________________________
5. Будет ли точка (0, 0) точкой экстремума функции ?
____________________________________________________________
6. Можно ли построить аппроксимирующую функцию по методу наименьших квадратов, если известны всего два наблюдения 
?
____________________________________________________________
Тема 7. Бесконечные ряды
Числовые ряды
Числовым рядом называется бесконечная числовая последовательность, элементы которой соединены знаком сложения, т.е.
Рассмотрим последовательность частичных сумм {Sn} числового ряда, построенную по принципу:
Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, который в этом случае называется суммой числового ряда, т.е. если 
, то 
Если предел последовательности частичных сумм ряда не существует или бесконечен, то числовой ряд называется расходящимся.
ПРИМЕР: Как известно из школьного курса алгебры, сумма n членов геометрической прогрессии определяется формулой:
Очевидно, что если ½q½< 1, то 
и 
, а числовой ряд, составленный из членов геометрической прогрессии, называемый геометрическим рядом, сходится. Если же ½q½³ 1, то 
, и геометрический ряд расходится.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 1501; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!