Основные свойства неопределенного интеграла

Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его основные свойства.

1). Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.:

2). Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.:

3). Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла, т.е. если k = const ¹ 0, то:

4). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е.:

Таблица основных неопределенных интегралов

В приведенной ниже таблице основных неопределенных интегралов часть формул (1÷10) следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию, и из таблицы производных простейших элементарных функций. Справедливость остальных формул легко может быть проверена дифференцированием.

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).

11).

12).

13).

14).

Неопределенные интегралы, содержащиеся в этой таблице, условно называются табличными.

Основные методы интегрирования

Метод непосредственного интегрирования

Метод вычисления неопределенных интегралов сличением с табличными интегралами, с использованием основных свойств неопределенных интегралов, а также тождественных преобразований подынтегральных функций называется методом непосредственного интегрирования.

ПРИМЕРЫ:

1. Найти интеграл:

Решение. Предложенный интеграл табличный (формула 14 таблицы при а = 4), поэтому можно записать:

2. Найти интеграл:

Решение. Попытка сличения показывает, что данный интеграл табличным не является. Однако, принимая во внимание, что:



и используя табличные интегралы 9 и 10, получим:

Метод замены переменной

Во многих случаях удачное введение новой переменной интегрирования позволяет свести операцию нахождения интеграла к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом замены переменной или методом подстановки.

В основе метода замены переменной лежит формула:

В этой формуле   и есть замена переменной. В результате вычисления интеграла в правой части формулы получится функция, зависящая от аргумента t, поэтому, чтобы вернуться к первоначальной переменной х, нужно в полученном результате провести обратную замену

ПРИМЕРЫ:

Рациональной тригонометрической функцией от переменных sin x и cos x называется выражение, в котором над этими переменными производятся арифметические действия (сложение, вычитание, умножение и деление).

ПРИМЕР: Выражение   является рациональной тригонометрической функцией.

Интегрирование рациональных тригонометрических функций сводится к интегрированию рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

при этом

ПРИМЕР:

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 307; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 7 8 9 10 111213 14 15 16 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!