Возрастание и убывание функции



Напомним, что функция f (x) называется возрастающей (убываю­щей) на промежутке Х, если для любых двух точек  верно неравенство .

Сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на промежутке:

 

Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка, то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

 

Экстремумы функции и их отыскание

Определение.Точка х0 называется точкой локального макси­мума (минимума) функции f (x), если для всех х из некоторой окрест­ности точки х0 выполняется неравенство f (x) ≤ f (x0) (f (x) ≥ f (x0)).

Локальный минимум и локальный максимум принято объединять общим названием локальный экстремум. Экстремум носит локальный (местный) характер в том смысле, что неравенства определения не должны выполняться на всей области определения функции, а должны выполняться в некоторой (небольшой) окрестности точки х0, т.е. в некоторой локальной области. На всей же области определения функция может иметь несколько локальных экстремумов, причем может оказаться, что иной локальный максимум меньше по величине какого-то локального минимума (рис. 7):

Рис. 7.

Отыскание точек локального экстремума является важной задачей функционального анализа. Алгоритм этого отыскания базируется на ряде признаков, которые сформулированы ниже.

 

Необходимый признак локального экстремума

Если функция f (x) имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то

 

Все точки х0, в которых производная функции обращается в нуль называются стационарными точками или точками возможного экстремума.

Необходимость приведенного признака вытекает из существования функций, для которых при выполнении условия  экстремум в точке х0 отсутствует. Например, таким свойством обладает функция y = x3 в стационарной точке х0 = 0 (убедитесь в этом самостоятельно).

Достаточный признак локального экстремума

Если при переходе (в направлении слева направо) через стационарную точку х0 производная функции меняет знак с плюса на минус, то точка х0 является точкой локального максимума, если же – с минуса на плюс, то точка х0 является точкой локального минимума. Если при таком переходе знак производной не меняется, то в этой стационарной точке х0 экстремума нет.

Достаточный признак локального экстремума № 2


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 115;