Предел функции в точке и в бесконечности



Пусть функция y = f (x) определена на некотором множестве Х, а некоторое число х0 принадлежит этому множеству, или не принадлежит ему.

Определение 1. Число А называется пределом функции f (x) в точке х0 (или при х→х0), если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента {xn}, отличных от х0, соответствующая последовательность значений функции {f(xn)} сходится к числу А. При этом записывают:

ПРИМЕР: Предел функции y = x2 в точке х0 = 2 равен 4, или:

 

Определение 2.Число А называется правым (левым) преде­лом функции f (x) в точке х0, если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента, элементы xn которой больше (меньше) числа х0, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Приняты следующие обозначения таких пределов: правый предел ; левый предел

ПРИМЕР: Для функции   определенной для всех х ≠ 0 на основании определения модуля имеем:

 

 

Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны между собой. В этом случае предел функции в точке равен односторонним пределам в этой же точке.

ПРИМЕР:Функция, рассмотренная в предыдущем примере, в точке х0 = 0 предела не имеет, поскольку существующие правый и левый пределы этой функции в этой точке не равны между собой.

 

Можно определить предел функции в точке и другим способом на языке (ε, δ).

 

 

Определение 3.Число А называется пределом функции f (x) в точке х0, если для любого числа ε > 0 существует число δ > 0 (зависящее от ε) такое, что для всех  и удовлетворяю­щих неравенству , выполняется неравенство .

Геометрический смысл этого определения состоит в том, что если число А является пределом функции f (x) в точке х0, то для всех значений аргумента х, содержащихся в δ – окрестности точки х0 , соот­ветствующие значения функции попадут в ε – окрестность числа А (рис. 4):

Рис.4.

 

Определение 4. Предел функции y = f (x) в точке х0 равен         +∞ (−∞), если для любой последовательности {xn} значений аргумента, сходящейся к х0, соответствующая последовательность значений функции {f (xn)} является бесконечно большой, т.е. имеет своим пределом + ∞ (− ∞).

Аналогично определяются правый и левый бесконечные пределы функции в точке.

 

ПРИМЕРЫ:Для функции   имеем: . Для функции  можно записать: .

 

Определение 5. Число А называется пределом функции f (x) при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

 

ПРИМЕР:Для функции  в соответствии с определением можно записать .

 

Для пределов функций выполняются следующие важные для практического применения свойства:

 

Пусть функции f (x) и g (x) имеют в точке х0 пределы, равные В и С, и а – любое число. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)∙g (x), a∙f (x) и        f (x)/g (x) (при С ≠ 0) имеют в точке х0 пределы, соответственно равные: В ± С, В∙С, аВ и В/С.

 

Пусть функции f (x), g (x) и h (x) определены в некоторой окрестности точки х0 и для всех х из этой окрестности выполняются неравенства f (x) ≤ g (x) ≤ h (x). Тогда, если функции f (x) и h (x) имеют в точке х0 предел равный А, то и предел функции g (x)  в этой точке будет равен А.

 

Существуют два стандартных предела, которые традиционно называются замечательными.

Первый замечательный предел: .

ПРИМЕРприменения:

Второй замечательный предел: .

ПРИМЕРприменения:

 

 

Непрерывность функции

Определение 1. Функция f (x)называется непрерывной в точке х0, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.: .

 

ПРИМЕРЫ:

1. Функция y = x2 будет непрерывной в точке х0 = 2, поскольку выполнено условие определения: предел этой функции и ее значение в этой точке равны между собой и равны 4.

2. Функция y = 1/x не будет непрерывной в точке х0 = 0, поскольку в этой точке не существует предел функции, а также не определена сама функция.

 

Сформулируем еще одно определение непрерывности функции в точке. Дадим аргументу х0 приращение Δх, тогда функция y = f (x) получит приращение Δy = f (x0 + Δx) – f (x0). Заметим, что в этом случае условия Δх →0 и х →х0 будут равносильны.

 

Определение 2. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х0 , если она определена в некоторой окрестности этой точки и при приращении аргумента, стремящегося к нулю, приращение функции также стремится к нулю, т.е. .

Перечислим основные свойства функций, непрерывных в точке:

 

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х0, то функции: f (x) ± g (x), f (x)∙g (x) и f (x)/g (x) (при условии g (x) ≠ 0) будут также непрерывными в точке х0.

 

Если функция y = f (x) непрерывна в точке х0 и f (x0) ≠0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция f (x) имеет тот же знак, что и f (x0).

 

Если функция z = φ (x) непрерывна в точке х0, а функция y = f (z) непрерывна в точке z0 = φ (x0), то сложная функция y = f [φ (x)] будет непрерывна в точке х0.

 

Определение 3. Точка х0 называется точкой разрыва некоторой функции, если в этой точке эта функция не является непрерывной.

 

Точки разрыва различных функций можно подразделить на точки разрыва двух родов.

 

Определение 4. Точка х0 называется точкой разрыва первого рода функции f (x), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу, правый и левый пределы.

 

ПРИМЕР: Для функции  точка х0 = 0 будет точкой разрыва первого рода, поскольку в этой точке правый и левый пределы этой функции существуют конечны, но не равны друг другу:

 

Определение 5. Точка х0 называется точкой разрыва второ­го рода функции f (x), если в этой точке функция не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов, или хотя бы один из них бесконечен.

 

ПРИМЕР: Для функции  точка х0 = 0 будет точкой разрыва второго рода, поскольку:

 

Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Можно показать, что все элементарные функции непрерывны в области их определения.

Функция y = f (x), заданная на отрезке [a, b] называется непре­рывной на этом отрезке, если она непрерывна в каждой внутрен­ней точке этого отрезка, или в каждой точке интервала (a, b).

Перечислим основные свойства функций, непрерывных на отрезке:

Первая теорема Больцано-Коши

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует точка , в которой f (c) = 0.

 

Вторая теорема Больцано-Коши

Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], причем f (a) = A и f(b) = B и С – любое число, заключенное между А и В, то существует точка , в которой f (c) = C.

Первая теорема Вейерштрасса

Если функция определена и непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.

 

Рекомендуемая литература по теме 3:[1 ÷ 3].

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 3

1. Пусть левый предел функции . Может ли при этом быть справедливой запись: ?

 

 

 

 

2. Пусть предел функции . Может ли при этом быть справедливой запись: ?

 

 

 

 

3. Существует ли предел , если существуют пределы: ? Как в этом случае называется точка х0?

 

 

 

 

 

4. Пусть функция  непрерывна на отрезке [1, 3]. Может ли быть ?

 

 

 

 

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 406; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!