Тема 4. Дифференциальное исчисление



Определение и смысл производной

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х, тогда приращению Δх аргумента х будет соответствовать приращение функции Δy = f (x +Δx) – f (x). Однако более важным для исследования свойств функции является не абсолютное приращение функции Δy, а относительное приращение Δy / Δx, которое характе­ри­зует направление и среднюю скорость изменения функции в пределах рассматриваемой окрестности точки х.

 

Определение. Производной функции y = f (x) называется предел относительного приращения функции Δy / Δx при стремлении приращения аргумента Δх к нулю, т.е.:

 

 

Таким образом, производная функции, вычисленная в данной точке, характеризует мгновенную скорость и направление изменения функции в небольшой окрестности этой точки. В этом и состоит основной смысл производной применительно к исследованию свойств функции.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции y = f (x) численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке M (x, f (x)) (рис. 5), т.е.

 

(x) = tg α = k.

Рис. 5.

 

Экономический смысл производной (точнее, один из эконо­мических смыслов) заключается в том, что производная производственной функции по времени есть мгновенное значение производительности труда в момент времени t0.

Пусть функция μ (t) определяет объем продукции, произве­денной за время t, т.е. является производственной функцией. Тогда относительное приращение этой функции Δμ / Δt будет характе­ри­зо­вать среднюю производительность труда за время Δt, а производная этой функции – мгновенное значение производительности труда в момент времени t:

В экономических моделях наряду с отношением приращений функции Δy / Δx рассматривается отношение относительных приращений .

Определение. Эластичностью функции y = f (x) в точке х называется предел отношения относительного приращения функции Δy / y к относительному приращению аргумента Δх / х при стремлении к нулю приращения аргумента Δх, т.е.:

Таким образом, эластичность функции показывает (приближенно) на сколько процентов изменится значение функции при изменении аргумента на 1 процент.

 

Дифференцируемойв точке называется функция, которая имеет производную в этой точке.

Дифференцируемой на промежутке называется функция, которая имеет производную в каждой точке этого промежутка.

Дифференцированием функции называется операция отыскания производной этой функции.

 

Правила дифференцирования

1. Производная постоянной функции равна нулю, т.е.

 

2. Производная аргумента равна единице, т.е.

 

 

Если заданы две дифференцируемые функции u = u (x) и         v = v (x), то для них справедливы следующие правила:

 

3. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраи­ческой сумме производных этих функций, т.е.

 

 

4. Производная произведения двух функций равна:

 

 

5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

 

 

6. Производная частного двух функций (при условии v (x) ≠ 0) равна

 

 

7. Если функция x = φ (t) имеет производную в точке t0, а функция  y = f (x), в свою очередь, имеет производную в соответствующей точке x0 = φ (t), то сложная функция y = f [φ(t)] имеет производ­ную в точке t0, которая вычисляется по формуле:

 

 

8. Если функция y = f (x) имеет в точке х0 производную , то обратная ей функция x = φ (y) также имеет в соответствующей точке y0 = f (x0) производную, которая вычисляется по формуле:

 

 

Таблица производных элементарных функций


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 128;