Тема 4. Дифференциальное исчисление
Определение и смысл производной
Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки х, тогда приращению Δх аргумента х будет соответствовать приращение функции Δy = f (x +Δx) – f (x). Однако более важным для исследования свойств функции является не абсолютное приращение функции Δy, а относительное приращение Δy / Δx, которое характеризует направление и среднюю скорость изменения функции в пределах рассматриваемой окрестности точки х.
Определение. Производной функции y = f (x) называется предел относительного приращения функции Δy / Δx при стремлении приращения аргумента Δх к нулю, т.е.:
Таким образом, производная функции, вычисленная в данной точке, характеризует мгновенную скорость и направление изменения функции в небольшой окрестности этой точки. В этом и состоит основной смысл производной применительно к исследованию свойств функции.
Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции y = f (x) численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке M (x, f (x)) (рис. 5), т.е.
f΄(x) = tg α = k. |
Рис. 5.
Экономический смысл производной (точнее, один из экономических смыслов) заключается в том, что производная производственной функции по времени есть мгновенное значение производительности труда в момент времени t0.
Пусть функция μ (t) определяет объем продукции, произведенной за время t, т.е. является производственной функцией. Тогда относительное приращение этой функции Δμ / Δt будет характеризовать среднюю производительность труда за время Δt, а производная этой функции – мгновенное значение производительности труда в момент времени t:
|
|
В экономических моделях наряду с отношением приращений функции Δy / Δx рассматривается отношение относительных приращений .
Определение. Эластичностью функции y = f (x) в точке х называется предел отношения относительного приращения функции Δy / y к относительному приращению аргумента Δх / х при стремлении к нулю приращения аргумента Δх, т.е.:
Таким образом, эластичность функции показывает (приближенно) на сколько процентов изменится значение функции при изменении аргумента на 1 процент.
Дифференцируемойв точке называется функция, которая имеет производную в этой точке.
Дифференцируемой на промежутке называется функция, которая имеет производную в каждой точке этого промежутка.
Дифференцированием функции называется операция отыскания производной этой функции.
Правила дифференцирования
1. Производная постоянной функции равна нулю, т.е.
|
|
2. Производная аргумента равна единице, т.е.
Если заданы две дифференцируемые функции u = u (x) и v = v (x), то для них справедливы следующие правила:
3. Производная алгебраической суммы функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.
4. Производная произведения двух функций равна:
5. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:
6. Производная частного двух функций (при условии v (x) ≠ 0) равна
7. Если функция x = φ (t) имеет производную в точке t0, а функция y = f (x), в свою очередь, имеет производную в соответствующей точке x0 = φ (t), то сложная функция y = f [φ(t)] имеет производную в точке t0, которая вычисляется по формуле:
8. Если функция y = f (x) имеет в точке х0 производную , то обратная ей функция x = φ (y) также имеет в соответствующей точке y0 = f (x0) производную, которая вычисляется по формуле:
Таблица производных элементарных функций
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 314; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!