Тема 3. Функции одной переменной



Понятие функции

Пусть X и Y – некоторые числовые множества. Функцией f называется множество упорядоченных пар чисел (x, y) таких, что:  и каждое число х в одну и только одну пару этого множества, а каждое число y входит по крайней мере в одну пару этого множества. При этом говорят, что числу х поставлено в соответ­ствие число y и пишут y = f (x). Число y называют значением функции в точке x. Переменную y называют зависимой переменной, а переменную x – независимой переменной (или аргументом); множество Х– областью определения функции, а множество Yмножеством значений функции.

 

Примерами функций, используемых в экономике, являются: функция спроса, которая выражает зависимость спроса на некоторый товар от его цены; функция предложения – выражает зависимость предложения некоторого товара от его цены; производственная функция – выражает зависимость объема выпускаемой продукции от объема перерабатываемого ресурса и т.д.

 

 

Задать функцию f (x) означает указать, каким образом для каждого значения аргумента х находить соответствующее ему значение функции y = f (x). Функции можно задавать:

· аналитически, т.е. с помощью формул;

· с помощью таблиц;

· графически.

 

ПРИМЕРЫ:

1. Зависимость между величиной дохода х и величиной спроса y на товары первой необходимости задается функцией Торнквиста, аналитическое задание которой имеет вид:

 

2. Налоговая ставка для конкретно выбранных доходов может быть задана таблицей:

 

Доход х, усл.ед. 1000 2000 4000 6000 8000
Налоговая ставка y, % 9 12 16 20 25

 

3. Функция Торнквиста, приведенная в примере 1, может быть задана графически – рис. 1.

 

Рис. 1.

 

Над функциями, если они имеют общую область определения, можно производить различные арифметические операции: умножать функции на число или друг на друга; делить друг на друга; складывать, вычитать и т.д.

 

Если на некотором множестве Х определена функция z = φ (x)     с множеством значений Z, а на множестве Z определена функция      y = f (z), то функцию y = f [φ (x)] принято называть сложной функцией от х, или суперпозицией (наложением) функций φ (х) и f (z),                 а переменную zпромежуточной переменной сложной функции.

 

ПРИМЕР:Функция y = sin (x2) является сложной, поскольку она представ­ляет собой суперпозицию двух функций y = f (z) = sin z и             z = φ (x) = x2.

 

Пусть Х и Y – некоторые числовые множества и пусть задана функция f, т.е. множество пар чисел (x, y) в смысле данного выше определения функции. Если в каждой паре этого множества числа х и y поменять местами, то получится множество пар чисел (y, x), которое называется обратной функцией φ к функции f, т.е. x = φ (y).

 

ПРИМЕР: Для функции y = x2 при условии х ≥ 0 функция  будет обратной функцией.

 

Если обратная функция однозначна, то множество значений Y функции f служит областью определения обратной функции φ, а область определения Х функции f – областью значений функции φ.

Функция y = f (x) и обратная ей функция x = φ (y) имеют один и тот же график в декартовой системе координат. Если для данного значения х1 ищется (по графику) соответствующее ему значение y1, то используемый график – график функции y = f (x). Если же для данного значения y2 ищется соответствующее ему значение х2, то та же линия является графиком функции x = φ (y) (рис. 2):

 

Рис. 2.

 

Классификация функций

Постоянная функция f (x) = С, степенная функция f (x) = xα, показа­тельная функция f (x) = ax, логарифмическая функция                  f (x) = loga x, тригоно­метрические функции: sin x, cos x, tg x, ctg x и обратные им функции: arcsin x, arcos x, arctg x, arcctg x называются простейшими элемен­тарными функциями.

 

Все функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий и (или) конечного числа суперпозиций простейших элементарных функций составляют довольно обширный класс элементарных функций.

Класс элементарных функций, в свою очередь, может быть подразделен на подклассы: рациональных, иррациональных и трансцендентных функций.

Функции вида: Pm (x) = a0 xm + a1 xm-1 + … + am-1 x + am , где m ≥ 0 и целое число, а коэффициенты а с различными индексами – любые дейст­вительные числа и а00, называются целыми рациональными функциямиили многочленамистепени m. При этом, многочлен первой степени (m = 1) называет­ся линейной функцией, а многочлен нулевой степени (m = 0) называется постоянной функцией.

Функции, представляющие собой отношение двух многочленов разных степеней, т.е. функции вида: R (x) = Pm (x)/Qn (x) называются дробно-рациональными функциями.

Совокупность целых рациональных и дробно-рациональных функций образует подкласс рациональных функций.

Функции, полученные с помощью конечного числа суперпозиций и (или) четырех арифметических действий над степенными функциями как с целы­ми, так и с дробными показателями, и не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Например,  и т.д. Эти функции образуют подкласс иррациональных функций.

Всякая функция, не являющаяся рациональной или иррациональной, относится к подклассу трансцендентных функций.Например,  и т.д.

Примером неэлементарной функции является функция y = ΙxΙ, график которой представлен на рис. 3.

 

Рис. 3.


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 270; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!