Необходимый признак точки перегиба



Вторая производная дважды дифференцируемой функции f (x) в точке х0, соответствующей точке перегиба, равна нулю,         т.е. f″(x0) = 0.

 

Точки, в которых вторая производная функции обращается в нуль, называются критическими точками.

Достаточный признак точки перегиба

Если вторая производная дважды дифференцируемой функции y = f (x) при переходе через некоторую точку х0 меняет свой знак, то соответствующая точка M (x0, f (x0)) есть точка перегиба графика этой функции.

Алгоритм отыскания точек перегиба

1. Найти вторую производную функции. 2. Приравнять вторую производную к нулю и, решив полученное уравнение, найти критические точки. 3. Проанализировав знаки второй производной слева и справа от каждой критической точки, найти точки перегиба графика функции.

 

ПРИМЕР: Найти точку перегиба графика функции y = x3.

Вычислив вторую производную заданной функции и приравняв ее к нулю, получим уравнение y″ = 6x = 0. Решая это уравнение, найдем единственную критическую точку х0 = 0. Поскольку слева от этой точки вторая производная функции отрицательна, а справа – положительна, точка О (0, 0) будет точкой перегиба графика заданной функции.

 

Асимптоты графика функции и их отыскание

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x, f (x)) графика функции до этой прямой неограниченно уменьшается (стремится к нулю) при неограниченном удалении этой точки от начала координат. Существует три вида асимптот: вертикальная, горизонтальная и наклонная.

 

Определение. Прямая х = х0 называется вертикальной асимп­то­­той графика функции y = f (x), если точка х0 является точкой разрыва второго рода этой функции.

 

Таким образом, задача отыскания вертикальных асимптот сводится к задаче отыскания таких точек х0, в которых либо правый, либо левый, либо оба сразу пределы функции бесконечны.

 

ПРИМЕР: График функции y = 1 / x имеет вертикальную асимп­тоту х = 0, т.е. ось Oy, т.к.  График этой функции приведен на рис. 10:

 

Рис. 10.

 

Определение. Прямая y = A называется горизонтальной асимптотой графика функции y = f (x) при , если .

 

Задача отыскания горизонтальных асимптот, очевидно, сводится к нахождению указанных в определении пределов.

 

ПРИМЕР: График функции y = 1 / x имеет горизонтальную асимп­тоту y = 0, т.к.  (рис. 10).

 

Определение.Прямая y = kx + b называется наклонной асимп­тотой графика функции y = f (x) при , если параметры k и b уравнения этой прямой найдены по формулам:

 

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то наклонные асимптоты отсутствуют. Кроме того, наклонные асимптоты имеет смысл искать только в том случае, когда отсутствуют горизонтальные асимптоты.

 

ПРИМЕР: Для функции  существует наклонная асимптота с уравнением y = x + 2, т.к. вычисления по формулам определения дают:

 

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 162;