Алгоритм отыскания локальных экстремумов функции
| 1. Найти производную заданной функции. 2. Приравнять производную к нулю и, решив полученное уравнение, найти стационарные точки. 3. Исследовав знаки производной слева и справа от каждой стационарной точки (достаточный признак экстремума), сделать заключение о наличии, характере или отсутствии экстремума в этой точке. |
ПРИМЕРЫ:
1. Найдите экстремум функции y = x2. Следуя приведенному алгоритму, запишем: 
. Решением полученного уравнения будет единственная стационарная точка х0 = 0. Очевидно, слева от этой точки производная функции будет отрицательна, а справа – положительна. Следовательно, стационарная точка х0 = 0 есть точка минимума данной функции.
2. Найдите экстремум функции y = x3. Аналогично предыдущему примеру запишем: 
Очевидно, что слева и справа от единственной стационарной точки х0 = 0 производная функции положительна. Следовательно, в этой точке экстремума нет. В этом можно убедиться и применив достаточный признак № 2. Имеем: 
и 
, т.е. и этот признак указывает на отсутствие экстремума в этой точке.
Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
| 1. Найти стационарные точки на этом отрезке. 2. Найти значения функции в стационарных точках и на концах отрезка. 3. Сравнив между собой полученные значения, найти среди них наибольшее и наименьшее. |
ПРИМЕР: Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2 на отрезке [ - 2. 3].
|
|
|
Следуя приведенному алгоритму, вычислим производную заданной функции и, приравняв ее к нулю, получим уравнение вида: х3 – х2 – 2х = 0. Корни этого уравнения: х1 = - 1, х2 = 0 и х3 = 2 являются стационарными точками, принадлежащими заданному отрезку. Добавим к этим стационарным точкам граничные точки отрезка и вычислим значения функции во всех этих точках:
f (- 2) = 34; f (- 1) = - 3; f (0) = 2; f (2) = - 30; f (3) = 29.
Сравнение полученных значений показывает, что функция достигает своего наименьшего значения в стационарной точке х = 2, а наибольшего значения – на конце отрезка в точке х = - 2 (рис. 8):
Рис. 8.
Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
Определение. График функции y = f (x) имеет на интервале (a, b) выпуклость, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на этом интервале (рис. 9):
Рис. 9.
Используя производные второго порядка, можно сформулировать достаточный признак направления выпуклости графика функции:
| Если функция y = f (x) имеет на интервале (a, b) вторую производную и f″(x) ≥ 0 (f″(x) ≤ 0) во всех точках этого интервала, то график функции y = f (x) имеет на этом интервале выпуклость, направленную вниз (вверх). |
|
|
|
Определение. Точка M (x0, f (x0)) называется точкой перегиба графика функции y = f (x), если в этой точке график функции имеет касательную и существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции слева и справа от точки х0 имеет разные направления выпуклости.
Из приведенного определения следует, что точка перегиба – это точка экстремума первой производной функции. На этом основании можно сформулировать следующие утверждения.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 410; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!