Понятие дифференциала функции



Пусть функция y = f (x) определена на промежутке Х и в некоторой окрестности точки  имеет конечную производную:

 

Определение. Дифференциалом функции y = f (x) называется величина .

 

Смысл дифференциала функции заключается в том, что он приблизительно равен приращению функции Δy и пропорционален приращению аргумента Δх.

Геометрический смысл дифференциала функции следует из рассмотрения рис. 14. На нем приращение функции Δy = ΙPNΙ, а из рассмотрения треугольника MNQ следует равенство:

Таким образом, длины отрезков , а это и означает, что геометрически дифференциал функции в точке х0 есть часть приращения функции, отсекаемая касательной к графику функции в точке M(x0, f (x0)).

 

Рис. 14.

Для функции y = x очевидно , поэтому , т.е. дифференциал аргумента равен приращению аргумента. С учетом этого равенства дифференциал можно записать в виде:

 

 

ПРИМЕР: Найти и сравнить приращение и дифференциал функции y = 2x2 – 3x при х = 10 и Δх = 0,1.

Вначале найдем выражения для приращения и дифференциала функции:

 

Подставляя в полученные выражения заданные числовые значения, получим:  и . Различие между полученными значениями не превышает 0,02 или 0,5%.

 

 

Рекомендуемая литература по теме 4:[1 ÷ 3].

 

ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 4:

1. Пусть производная функции в точке х = 2 равна 1. Под каким углом к оси Ох расположена касательная к графику функции при х = 2?

____________________________________________________________

 

2. Пусть  Можно ли применить правило Лопиталя для нахождения предела отношения этих функций в точке х0 = 1?

____________________________________________________________

 

3. Пусть производная некоторой функции на интервале (1, 5) постоянна и равна 2. Будет ли эта функция возрастающей на этом интервале?

____________________________________________________________

 

4. Имеет ли функция y = 1 – x2  глобальный экстремум?

 

 

 

5. Сколько экстремумов имеет функция y = sin x на отрезке [0, 2π]?

____________________________________________________________

 

6. Имеет ли функция y = 5x – 7 экстремумы на отрезке [0, 3]?

____________________________________________________________

 

7. Пусть график функции y = f (x) на некотором промежутке имеет направление выпуклости вниз. Будет ли иметь такое же направление выпуклости график функции y = λ∙ f (x) при λ < 0?

 

 

 

8. Пусть прямая y = 2x + 1 является наклонной асимптотой графика некоторой функции при х→+∞. Можно ли утверждать, что такую же наклонную асимптоту график этой функции будет иметь при х→ - ∞ ?

____________________________________________________________

 

9. Имеет ли график функции y = 2 – x какие-либо асимптоты?

 

 

 

10. Пусть левый предел некоторой функции в точке х0 = 2 равен 5, а правый предел в этой же точке – плюс бесконечности. Будет ли прямая х = 2 вертикальной асимптотой графика этой функции?

____________________________________________________________

 

Тема 5. Интегральное исчисление

Первообразная и неопределенный интеграл

В предыдущей теме 4 пособия введены понятия производ­ной и дифференцирования функции. Обратной операцией для дифференцирования функции является операция интегрирования функции, или операция нахождения ее первообразной.

 

Определение.Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором промежутке Х, если для всех х этого промежутка выполняется равенство: F′(x) = f (x).

 

ПРИМЕРЫ:

1. Функция F(x) = sin x будет являться первообразной для функции                 f (x) = cos x, поскольку для любых действительных х справедливо равенство: (sin x)′ = cos x.

2. Функция F(x) = x3 будет являться первообразной для функции f (x) = 3x2, поскольку для любых действительных х справедливо равенство: (х3)′ = 3х2.

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если F(x) является перво­образной для функции f (x), т.е. F′(x) = f (x), то функция Φ(x) = F(x) + C, где С – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции f (x), поскольку: Φ′(х) = F′(x) + 0 = f (x). Отсюда следует, что множество всех первообразных для некоторой данной функции состоит из функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину, которая, в свою очередь, может принимать произвольные действительные значения.

 

Определение.Если функция F(x) является первообразной для функции f (x), то множество функций F(x) + C, где С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом:

 

 

При этом функция f (x) называется подынтегральной функ­цией, выражение f (x)dxподынтегральным выражением, dxдифференциалом переменной х, которая в этом случае называется переменной интегрирования.

 

Достаточным условием для существования неопределенного интеграла от функции f (x) на некотором промежутке является непрерывность этой функции на этом промежутке.

 

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 351; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!