По Теме 1. Элементы теории множеств
1. Упорядоченное множество, состоящее из двух элементов, принято обозначать следующим образом:
- {x1, x2}
- (x1, x2)
- [x1, x2]
2. Пересечением двух множеств A и B называется множество С, состоящее:
· из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.
· из всех элементов А, не принадлежащих В.
· из всех элементов как множества А, так и В
3. Объединение С двух множеств А и В принято обозначать следующим образом:
· C = A ∩ B
· C = A U B
· C = A \ B
4. Разность D двух множеств А и В принято обозначать следующим образом:
· D = A ∩ B
|
|
|
· D = A / B
· D = A \ B
5. Интервал (-5, + ∞) есть множество:
· неограниченное.
· ограниченное
· замкнутое
6. Отрезок [-3, 2] есть множество:
· неограниченное
· ограниченное
· разомкнутое
7. Точная нижняя грань множества Х есть:
· наибольшее из чисел, ограничивающих множество сверху
· наибольшее из чисел ограничивающих множество снизу
|
|
|
· наименьшее из чисел ограничивающих множество снизу
Тема 2. Числовые последовательности
Основные понятия и примеры
Если каждому натуральному числу 
по некоторому закону поставлено в соответствие одно действительное число xn , то множество действительных чисел {x1, x2, …, xn, …} называется числовой последовательностью, или просто последовательностью. Числа x1, x2, x3, … называются элементами или членами последовательности, а число xn – общим элементом (членом) последовательности.
Последовательность считается заданной, если задана формула общего элемента последовательности, как некоторая функция от номера n.
ПРИМЕРЫ:
· арифметическая прогрессия: {2n – 1} = {1, 3, 5, 7, …}.
· геометрическая прогрессия: {2n} = {2, 4, 8, 16, …}.
· гармоническая последовательность: {1/n} = {1, 1/2, 1/3, 1/4, …}.
Последовательность {xn} называется возрастающей (убывающей), если для каждого справедливо неравенство xn < xn+1 (xn > xn+1).
Последовательность {xn} называется неубывающей (невозрастающей), если для каждого справедливо неравенство xn ≤ xn+1 (xn ≤ xn+1).
Все такие последовательности принято называть монотонными.
В приведенных выше примерах арифметическая и геометрическая прогрессии являются возрастающими последовательностями, а гармоническая последовательность – убывающей.
|
|
|
Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого числа A > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι xn Ι > A.
Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι αn Ι < ε.
ПРИМЕРЫ:
1. Последовательность {n} = {1, 2, 3, …} будет бесконечно большой, т.к. какое бы большое число А мы не взяли (например, А = 1000), для него найдется номер N (например N = 1000) такой, что для всех номеров, превышающих этот номер, элементы последовательности будут больше этого заданного числа А (например, x1001 = 1001 > 1000 = A, x1002 = 1002 > 1000 = A и т.д.).
2. Последовательность {1/n} = {1, 1/2, 1/3, …} будет бесконечно малой, т.к. какое бы малое число ε мы не взяли (например, ε = 1/1000), для него найдется номер N (например, N = 1000) такой, что для всех номеров, превышающих этот номер, элементы последовательности будут меньше этого заданного числа ε (например, x1001 = 1/1001 < < 1/1000 = ε и т.д.).
|
|
|
Сумма, разность, произведение бесконечно малых последовательностей и произведение бесконечно малой последовательности на число будут являться также бесконечно малыми последовательностями.
Если последовательность {xn} – бесконечно большая и все ее члены отличны от нуля, то последовательность {αn} = {1/xn} будет бесконечно малой. Справедливо и обратное утверждение.
Предел последовательности
Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого числа ε > 0 существует номер N такой, что для всех номеров n > N выполняется неравенство Ι xn – a Ι < ε.
Неравенство Ι xn – a Ι < ε можно переписать в следующем виде: a – ε < xn < a + ε. Геометрически последние неравенства означают, что числа xn принадлежат интервалу (а – ε, а + ε). Поэтому понятие предела имеет следующую геометрическую интерпретацию: число а будет являться пределом последовательности {xn}, если для любого интервала (а – ε, а + ε) существует номер N такой, что для всех номеров, больших этого номера, соответствующие элементы последовательности обязательно будут принадлежать указанному интервалу.
Существование предела последовательности {xn} обозначается следующим образом: 
Бесконечно большие последовательности не имеют предела, поэтому принято считать, что они имеют бесконечный предел, и писать:  .
|
Бесконечно малые последовательности имеют
предел, равный нулю, т.е.:  .
|
Последовательность называется сходящейся, если она имеет предел, и расходящейся, если она предела не имеет, или имеет бесконечный предел.
Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для всех элементов последовательности выполняется неравенство Ι xn Ι< M.
| Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел |
| Всякая сходящаяся последовательность ограничена |
| Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел |
Для отыскания пределов различных последовательностей существуют полезные правила, справедливые только для сходящихся последовательностей.
Если 
, то:
1. 
.
2. 
.
3. 
.
4. 
при условии, что все bn ≠ 0 и b ≠ 0.
Рекомендуемая литература по теме 2:[1 ÷ 2].
ВОПРОСЫ для самопроверки знаний по теме 2:
1. Будет ли монотонной последовательность с одинаковыми членами?
2. Будут ли числа 0 и 1 пределами последовательности {0, 1, 0, 1, …}?
3. Можно ли из ограниченной последовательности {1/n} извлечь (выделить) бесконечно большую последовательность?
4. Пусть число 5 является пределом последовательности. Будет ли конечным число членов этой последовательности, содержащихся в интервале (3,5; 4,5)?
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 427; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!