Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования



Пусть функция y = f (x) определена и интегрируема на полуин­тервале [a, + ∞), т.е. на любом отрезке [a, t], где t  a.

Определение. Несобственным интегралом  от функции f (x) на полуинтервале [a, + ∞) называется предел:

 

 

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

 

ПРИМЕР:

 

Аналогично определяется несобственный интеграл на полуин­тер­вале (−∞, b)

 

ПРИМЕР:

 

 

Если функция f (x) определена на всей числовой оси и для числа а сходятся несобственные интегралы  и , то несобственный интеграл  называется сходящимся. Если же хотя бы один из интегралов правой части последнего равенства расходится, то исходный интеграл с бесконечными пределами интегрирования называется расходя­­­­щимся.

ПРИМЕР:

 

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция y = f (x) непрерывна, но не ограничена, на полуинтервале [a, b), т.е. точка х = а является для нее точкой разрыва второго рода. Тогда можно дать следующее определение.

Определение. Несобственным интегралом  от неограниченной на полуинтервале [a, b) функции f (x) называется предел:

 

Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

 

ПРИМЕР:

 

Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной, но неограниченной, на полуинтервале (a, b] функции      f (x):

 

ПРИМЕР:

 

Рекомендуемая литература по теме 5: [1 ÷ 3].

 

 

ТЕСТ для самопроверки знаний по теме 5

1. Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования равна:

· подынтегральному выражению                                

· подынтегральной функции                                           

· дифференциалу подынтегральной функции           

 

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен:

· сумме этой функции и произвольной постоянной 

· сумме производной этой функции и произвольной постоянной                                                              

· произведению этой функции и произвольной                    постоянной                                                                  

 

3. Неопределенный интеграл   равен:

·                                                                                 

·                                                                            

·                                                                                

 

4. Неопределенный интеграл   равен:

·                                                           

·                                                               

·                                                                 

 

 

5. Формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов принято записывать в виде:

·                                            

·                                            

·                                             

 

6. Определенный интеграл   равен:

· 0.                                                                                       

· 1.                                                                                       

· 2.                                                                                  

 

 

7. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций: f (x) = 0 и g (x) = - x2, заданных на отрезке [0, 1], равна:

· 1.                                                                                       

· 1/3.                                                                                    

· 3.                                                                                       

 

8. Несобственный интеграл :

· расходится                                                                     

· сходится и равен (− 1)                                             

· сходится и равен 1                                                       

 

9. Несобственный интеграл :

· сходится и равен 3/2                                                    

· расходится                                                                     

· сходится и равен 1                                                     

 

Тема 6. Функции нескольких переменных

Основные понятия и определения

Пусть Х – некоторое счетное множество точек (х1, х2, …, xn) пространства Rn.

Функцией нескольких переменных (n переменных) называется соответствие (закон) f, согласно которому каждой точке множества Х сопоставляется определенное число z. Такое соответствие записывается в виде z = f (x1, x2, …, xn). При этом множество Х назы­­вается областью определения функции f.

 

Для наглядности и простоты изложения в рамках этой темы мы ограничимся рассмотрением функций двух переменных (n = 2), хотя все основные понятия достаточно легко обобщаются на случай любого конечного числа переменных.

 

Функцию двух переменных z = f (x, y) можно изобразить графи­чески, вычисляя для каждой точки (x, y) области ее определения Х значение функции z. В этом случае мы получим некоторую совокуп­ность точек трехмерного пространства (x, y, z), которая и будет являться графиком функции. В самом общем случае график функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Например, на рис. 19 приведен график функции двух переменных z = x2 + y2.

 

Рис. 19.

 

ПРИМЕРЫ:

1. Многомерная функция полезности z = f (x1, x2, …, xn) есть числовая оценка определенным индивидом полезности набора приобретенных им n товаров.

2. Производственная функция Кобба-Дугласа: , где А, α и β – неотрицательные константы, х1 – объем производ­ствен­ных фондов, х2 – объем трудовых ресурсов, z – объем выпуска продукции.

 

График функции двух переменных представляет собой значительно более сложный объект, чем график функции одной переменной. Чаще всего, графическое представление на плоскости достаточно сложной поверхности – графика функции встречает серьезные трудности, а самое главное, не обладает достаточной информативностью. Поэтому для изучения свойств функций двух переменных вместо графика используют так называемые линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, y) называется множество точек плоскости Oxy таких, что во всех этих точках значение функции равно постоянной величине С, Число С в этом случае называется уровнем.

Фактически линии уровня представляют собой «срезы» (сечения) поверхности графика функции плоскостями с уравнениями f (x, y) = C, параллельными плоскости Oxy. Для примера на рис. 20 приведены линии уровня для некоторой функции двух переменных.

 

Рис. 20.

 

 

Предел и непрерывность

Для дальнейшего нам понадобится понятие δ – окрестности точ­ки на плоскости Oxy.

Для любого числа δ > 0 δ – окрестностью точки (x0, y0) называется множество всех точек плоскости (x, y), для которых выполняются неравенства  и .

Число А называется пределом функции z = f (x, y) при xx0 и yy0 (или в точке M0(x0, y0)), если для любого числа ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех точек M(x, y), лежащих в δ – окрест­ности точки М0, выполняется неравенство . Обозначается этот предел: .

Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке (x0, y0), если предел функции в этой точке равен значению функции в этой же точке, т.е.:

ПРИМЕР: Линейная функция  является непрерывной в любой точке (x0, y0).

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 886;