Частные производные и дифференцируемость



Функции двух переменных

Пусть z = f (x, y) – функция двух переменных. Если зафикси­ровать один из аргументов этой функции, например, положить y = y0, то получим функцию одной переменной z = f (x, y0).

Частной производной функции z = f (x, y) в точке (x0, y0) по пе­ре­меной х называется обыкновенная производная функции          z = f (x, y0), вычисленная в точке х0. Такая частная производная обозначается:

Совершенно аналогично определяется частная производная по y:

 

ПРИМЕР: Для функции  можно записать:

 

 

Полным приращением функции z = f (x, y) в точке (x0, y0) назы­ва­ется величина:

 

Функция z = f (x, y) называется дифференцируемой в точке (x0, y0), если ее полное приращение в некоторой окрестности этой точки может быть представлено в виде:

 

,

где для функций α1 и α2 выполняются соотношения:

 

 и .

 

Дифференциалом функции z = f (x, y) называется выражение:

 

 

Очевидно, что, как и в случае функции одной переменной, дифференциал функции двух переменных будет приближенно равен полному приращению функции.

 

Достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных

Для того чтобы функция z = f (x, y) непрерывная в точке М0 была дифференцируемой в этой точке, достаточно, чтобы эта функция имела конечные частные производные в этой точке и эти частные производные были бы непрерывны в точке М0.

ПРИМЕР: Для функции  частные производные существуют во всех точках и соответственно равны:  Поскольку они непрерывны во всех точках, то данная функция будет дифференцируемой во всех этих точках.

 

Градиентом функции двух переменныхz = f (x, y) называется вектор с координатами , т.е.:

Вектор градиента в данной точке показывает направление максимальной скорости возрастания функциив этой точке. Вторым важным свойством вектора градиента является следующее: вектор градиента в данной точке перпендикулярен касательной к линии уровня, проведенной через эту точку (рис. 21):

 

Рис. 21.

 

ПРИМЕР:Найдите координаты вектора градиента функции  в точке М (2, 2).

Найдем значения частных производных заданной функции в заданной точке:

 

Таким образом, можно записать:

 

 

Частные производные и полные дифференциалы     

Второго порядка

 

Пусть имеется функция двух переменных z = f (x, y), которая в каждой точке своей области определения Х имеет частные производные  и . Эти производные (назовем их производными первого порядка), в свою очередь можно рассматривать как некоторые функции двух переменных  и .

Частными производными второго порядка функции         z = f (x, y) называются частные производные от частных производных первого порядка этой функции. Они могут иметь вид:

 

 

Первые две из них принято называть повторными или просто вторыми частными производными функции z = f (x, y), а две других называются смешанными частными производными.

 

Если функция z = f (x, y) непрерывна на множестве Х и имеет на этом множестве непрерывные смешанные производные, то значения смешанных производных не зависят от порядка их вычисления, т.е.

 

Дифференциалом второго порядка функции z = f (x, y) назы­ва­ет­ся величина:

 

   

 

Заметим, что по своей структуре дифференциал второго порядка функции двух переменных представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов, т.е. может быть записан в виде:

 

 


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 468; Мы поможем в написании вашей работы!






Мы поможем в написании ваших работ!