Основные понятия и определения
Пусть функция y = f (x) определена и неотрицательна на отрезке [a, b] и a < b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками:
В каждом из полученных отрезков 
выберем произвольную точку 
, а длину такого отрезка обозначим 
.
Составим сумму σ следующим образом:
Будем называть такую сумму интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b]. Геометрический смысл этой суммы очевиден – это сумма площадей прямоугольников с основаниями 
и высотами 
. Если через λ обозначить наибольшую из длин и учесть факт, что из условия λ→0 вытекает условие n→∞ , то можно сформулировать следующее определение.
Определение.Если существует конечный предел J интегральных сумм σ при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:
|
При этом числа а и b называются пределами интегрирования, а функция f (x) – подынтегральной функцией.
Из приведенного определения следует геометрический смысл определенного интеграла от неотрицательной на отрезке [a, b] функции f (x) – это площадь криволинейной трапеции, ограниченной основаниями х = а и х = b, а также боковыми сторонами – отрезком [a, b] и кривой линией – графиком функции y = f (x).
Основные свойства определенного интеграла
1. Определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю
|
2. Если поменять пределы интегрирования местами, определенный интеграл изменит знак
|
|
|
|
3. Для любых чисел а, b и с справедливо равенство
|
4. Постоянный множитель, не равный нулю, можно выносить за знак определенного интеграла
|
5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций
|
6. Если для всех 
справедливо неравенство 
, то справедливо неравенство
7. Если в определенном интеграле верхний предел положить равным переменной 
, то такой интеграл становится функцией от х:
,
а производная этой функции равна значению подынтегральной функции в точке х.
|
8. Теорема о среднем.
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], то существует точка  такая, что справедливо равенство 
|
Формула Ньютона – Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница связывает неопределенный и определенный интегралы, сводит нахождение определенного интеграла к нахождению неопределенного интеграла (точнее, первообразной подынтегральной функции) с последующей подстановкой пределов интегрирования.
Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], а функция F(x) – какая-либо ее первообразная, то
|
|
|
|
ПРИМЕР:
Использование формулы Ньютона-Лейбница возможно и в случае вычисления определенного интеграла методом замены переменной.
|
где новые пределы интегрирования в правом интеграле находят по формуле обратной замены 
, т.е. 
, и не требуется в результате обратного перехода к первоначальной переменной интегрирования.
ПРИМЕР:
При вычислении определенного интеграла по частям также используется формула Ньютона-Лейбница.
|
ПРИМЕР:
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 346; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!