Приложения определенного интеграла



Вначале рассмотрим три наиболее часто встречающихся случая геометрического приложения определенного интеграла.

 

Случай 1. Для неотрицательной непрерывной функции y = f (x), заданной на отрезке [a, b], площадь криволинейной трапеции, огра­ниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f (x) (заштрихована на рис. 15), определяется формулой:

 

 

Рис. 15.

ПРИМЕР: Найти площадь криволинейной трапеции, ограничен­ной графиком функции y = x2, заданной на отрезке [0, 1].

Искомая площадь S будет равна:

 

Случай 2. Если на отрезке [a, b] заданы две непрерывные и неотрица­тельные функции f (x) и g (x), причем всюду на отрезке выполняется неравенство f (x) ≤ g (x), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками этих функций (заштрихована на рис. 16), будет определяться формулой:

 

 

Рис. 16.

 

ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:   y1= 1 – x2; y2= x2+ 2, x = 0, x = 1.

Поскольку на заданном отрезке интегрирования [0, 1] выполня­ется неравенство y2 > y1, искомая площадь будет равна:

 

Случай 3. Требуется найти площадь фигуры, ограниченной только графиками функций f (x) и g (x). Для решения этой задачи обычно используется формула случая 2. При этом в качестве пределов интегрирования используются корни уравнения f (x) = g (x), а на первое место в формуле случая 2 ставится та функция, которая не превышает другую на отрезке, определяемом найденными пределами интегрирования. Итак, площадь фигуры, заштрихованной на рис. 17, будет определяться формулой:

 

 

Рис. 17.

 

ПРИМЕР: Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций: y1 = x2 и y2 = 2 – x2.

Вначале найдем пределы интегрирования, решив уравнение y1 = y2, или x2 = 2 – x2. В результате получим: a = - 1, b = 1. Поскольку на отрезке [-1, 1] выполняется неравенство y2y1, искомую площадь найдем по формуле:

 

 

Теперь рассмотрим одно из экономических приложений определенного интеграла. Пусть функция f (t) задает производитель­ность труда в момент времени t, тогда объем продукции, выпущенный за время T, будет определяться формулой:

ПРИМЕР: Найти объем продукции, произведенной за 3 часа, если производительность труда определяется функцией .

Этот объем равен:

 

 

Приближенное вычисление определенных интегралов

 

Выше уже упоминалось о том, что достаточно мощным средством вы­чис­ления определенных интегралов является формула Ньютона-Лейбница. Однако ее практическое применение бывает связанным с существенными труд­ностями, возникающими при достаточно сложном аналитическом виде подынтегральной функции. С другой стороны, эта формула оказывается вообще неприменимой, когда речь идет о функциях, первообразные которых не выражаются в элементарных функциях. В этих и некоторых других случаях часто используют численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого определенного интеграла с требуемой точностью.

Существуют различные численные методы или формулы приближенного вычисления определенных интегралов. Ниже рассматривается наиболее распространенная из них – формула трапеций.

 

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная и неотрицательная функция y = f (x).  Мы уже знаем, что определенный интеграл от этой функции по отрезку [a, b] численно равен площади под кривой ее графика на этом отрезке. Очевидно, что мы получим приближенное значение искомого интеграла, если вместо площади под кривой возьмем площадь под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной разобьем отрезок  [a, b] на n равных частей длиной h = (b – a)/n каждая, и на каждом из полу­ченных отрезков разбиения заменим участок кривой хордой, стягиваю­щей концевые точки (рис. 18).

Тогда можно записать следующее при­ближенное равенство:

где Siплощадисоответствующих трапеций, каждая из которых равна:

 

 

Рис. 18

 

 

Поэтому будет справедливо следующее равенство:

 

где:  Полученная в итоге формула и носит назва­ние формулы трапеций.

Доказано, что абсолютная погрешность D результата вы­чис­лений по формуле трапеций, т.е. величина разности между этим и истинным значением интеграла, может быть оценена по формуле:

где: (b - a) – длина отрезка интегрирования, n – количество отрезков разбиения, М2 – максимальное значение модуля второй производной подынтегральной функции на отрезке [a, b].

 

ПРИМЕР: Пользуясь формулой трапеций, найти приближенное значение интеграла  и сравнить результат с точным значением.

Разобьем отрезок [1, 5] на 10 равных отрезков, длиной 0,4 каждый. Вычислим значения функции в точках разбиения:

 

xi 1 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0
yi 1 1,96 3,24 4,84 6,76 9,0 11,56 14,44 17,64 21,16 25,0

 

По формуле трапеций имеем:            Точное значение этого интеграла (убедитесь в этом сами) равно 124/3, следовательно, абсолютная погрешность нашего приближенного вычисления будет равна:

С другой стороны эту же погрешность можно оценить по приведенной выше формуле, в которой М2 = 2, т.к. f″(x) = 2:

 

 

 

Несобственные интегралы


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 188;