Метод интегрирования по частям



Пусть u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции, тогда можно записать: d(uv) = v∙du + u∙dv, или: u∙dv = d(uv) − v∙du, и окончательно получить формулу:

 

 

Метод интегрирования по частям и заключается в применении этой формулы. Эта формула позволяет свести вычисление первоначального интеграла в левой части формулы к вычислению интеграла в правой части формулы, который при удачном разделении подынтегрального выражения заданного интеграла на составные части u и dv может оказаться либо сразу табличным, либо более простым, чем исходный интеграл.

 

ПРИМЕРЫ:

 

 

Принципы интегрирования рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют так называемые рациональные функции, которые в самом общем случае можно пред­ставить в виде дроби:

где  и  многочлены или целые рациональные функции степеней m и n, соответственно. Если степень многочлена в числителе больше или равна сте­пени многочлена в знаменателе, т.е. m ³  n, то, выполнив деление, можно полу­чить:

где  многочлен степени k, а степень многочлена  заве­до­мо мень­ше степени многочлена  т.е. l < n.

Таким образом, задача интегрирования «неправильной» дробно-рацио­нальной функции всегда может быть сведена к задаче интегрирования много­члена, т.е. целой рациональной функции, а также к задаче интегрирования «пра­вильной» дробно-рациональной функции.

Очевидно, что первая из них, т.е. задача интегрирования многочлена степени k, сводится к (k + 1) – кратному применению табличного интеграла 1. Для решения второй задачи необходимо предварительно разложить правиль­ную дробно-рациональную функцию на сумму более простых, так называемых, эле­ментарных дробей.

В курсе высшей алгебры доказывается, что любая правильная дробно-рациональная функция может быть единственным образом представлена в сле­дующем виде:

(*)

            

где α – любой действительный корень кратности r уравнения , (x2 + 2px + q) – неразложимый на линейные множители квадратный трехчлен, имеющий кратность t и также встречающийся при разложении на множители многочлена , наконец,  - не­которые, неизвестные числовые коэффициенты.

Чтобы определить значения этих коэффициентов, умножают обе части равенства (*) на . Поскольку равенство между много­членом  и многочленом, который получится в числителе правой части после приведения подобных, справедливо для всех x, кроме действительных корней многочлена , то коэффициенты, стоя­щие при одинаковых степенях x в левом и правом многочленах, равны между собой. Таким образом, получают систему уравнений первой степени, в результате решения которой и находят искомые числовые ко­эффициенты. Изложенный метод носит название метода неопределенных коэф­фициентов.

ПРИМЕР: Разложить функцию  на элементарные дроби.

Поскольку: , заданную дроб­но-рациональную функцию можно представить в виде суммы элемен­тар­ных дробей вида:

 

Умножая обе части последнего равенства на знаменатель исходной дро­би, после приведения подобных получим:

 

 

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и ле­вой частях последнего равенства, получим систему уравнений вида:

                                  

Решив ее, найдем: А = В = 1/3; С = - 1/3; D = - 1. Следова­тельно, искомое разложение имеет вид:

 

 

Как следует из рассмотрения формулы (*), после разло­жения правильной дробно-рациональной функции на сумму элементарных дро­бей задача ее интегрирования сводится к вычислению интегралов следующих четырех основных типов:

 

1).    2).

3).               4).

 

Первые два интеграла вычисляются сведением к табличным с помощью подстановки: t = x – α. В двух последних интегралах квадратный трехчлен, сто­ящий в знаменателе, действительных корней не имеет, т.к.: p2 – q < 0.  Поскольку интегралы четвертого типа довольно редко встречаются на практике, а их вычисление связано с определенными трудностями, мы ограничимся только вычислением интеграла третьего типа.

Выделим из трехчлена, стоящего в знаменателе подынтеграль­ной функ­ции, полный квадрат: x2 + 2px + q = (x + p)2 + q – p2. Это выделение подска­зывает подстановку: t = x + p; x = t – p; dx = dt. Обозначив q – p2 = h > 0, получим:

 

 

Первый из этих интегралов вычисляется непосред­ствен­но:

 

 

Второй – находится по форму­ле 13 таблицы интегралов:

    

 

Поэтому окончательно можно записать:

            

 

ПРИМЕР: Найти интеграл:

Используя результаты разложения подынтегральной функции на элементарные дроби, полученные в предыдущем примере этого подраздела, можно записать:

 

 

Для вычисления первых двух интегралов используем замену        t = x – 1, x = t + 1, dx = dt  и получим:

Для вычисления последнего, третьего интеграла воспользуемся полученной выше формулой, подставив в нее следующие числовые значения коэффициентов: А = 1, В = 3, p = 1/2 и q = 1, и получим:

 

 

Учитывая числовые коэффициенты перед этими тремя интегралами, окончательно получим:

 

 

Определенный интеграл


Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 180;