Метод интегрирования по частям

⇐ ПредыдущаяСтр 13 из 20Следующая ⇒

Пусть u = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции, тогда можно записать: d(uv) = v∙du + u∙dv, или: u∙dv = d(uv) − v∙du, и окончательно получить формулу:

Метод интегрирования по частям и заключается в применении этой формулы. Эта формула позволяет свести вычисление первоначального интеграла в левой части формулы к вычислению интеграла в правой части формулы, который при удачном разделении подынтегрального выражения заданного интеграла на составные части u и dv может оказаться либо сразу табличным, либо более простым, чем исходный интеграл.

ПРИМЕРЫ:

Принципы интегрирования рациональных функций

Важный класс функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции, образуют так называемые рациональные функции, которые в самом общем случае можно представить в виде дроби:

где и многочлены или целые рациональные функции степеней m и n, соответственно. Если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, т.е. m ³ n, то, выполнив деление, можно получить:

где многочлен степени k, а степень многочлена заведомо меньше степени многочлена т.е. l < n.

Таким образом, задача интегрирования «неправильной» дробно-рациональной функции всегда может быть сведена к задаче интегрирования многочлена, т.е. целой рациональной функции, а также к задаче интегрирования «правильной» дробно-рациональной функции.

Очевидно, что первая из них, т.е. задача интегрирования многочлена степени k, сводится к (k + 1) – кратному применению табличного интеграла 1. Для решения второй задачи необходимо предварительно разложить правильную дробно-рациональную функцию на сумму более простых, так называемых, элементарных дробей.

В курсе высшей алгебры доказывается, что любая правильная дробно-рациональная функция может быть единственным образом представлена в следующем виде:

(*)



где α – любой действительный корень кратности r уравнения , (x² + 2px + q) – неразложимый на линейные множители квадратный трехчлен, имеющий кратность t и также встречающийся при разложении на множители многочлена , наконец, - некоторые, неизвестные числовые коэффициенты.

Чтобы определить значения этих коэффициентов, умножают обе части равенства (*) на . Поскольку равенство между многочленом и многочленом, который получится в числителе правой части после приведения подобных, справедливо для всех x, кроме действительных корней многочлена , то коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x в левом и правом многочленах, равны между собой. Таким образом, получают систему уравнений первой степени, в результате решения которой и находят искомые числовые коэффициенты. Изложенный метод носит название метода неопределенных коэффициентов.

ПРИМЕР: Разложить функцию на элементарные дроби.

Поскольку: , заданную дробно-рациональную функцию можно представить в виде суммы элементарных дробей вида:

Умножая обе части последнего равенства на знаменатель исходной дроби, после приведения подобных получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях последнего равенства, получим систему уравнений вида:



Решив ее, найдем: А = В = 1/3; С = - 1/3; D = - 1. Следовательно, искомое разложение имеет вид:

Как следует из рассмотрения формулы (*), после разложения правильной дробно-рациональной функции на сумму элементарных дробей задача ее интегрирования сводится к вычислению интегралов следующих четырех основных типов:

1).    2).

3).               4).

Первые два интеграла вычисляются сведением к табличным с помощью подстановки: t = x – α. В двух последних интегралах квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе, действительных корней не имеет, т.к.: p² – q < 0. Поскольку интегралы четвертого типа довольно редко встречаются на практике, а их вычисление связано с определенными трудностями, мы ограничимся только вычислением интеграла третьего типа.

Выделим из трехчлена, стоящего в знаменателе подынтегральной функции, полный квадрат: x² + 2px + q = (x + p)² + q – p². Это выделение подсказывает подстановку: t = x + p; x = t – p; dx = dt. Обозначив q – p² = h > 0, получим:

Первый из этих интегралов вычисляется непосредственно:

Второй – находится по формуле 13 таблицы интегралов:



Поэтому окончательно можно записать:



ПРИМЕР: Найти интеграл:

Используя результаты разложения подынтегральной функции на элементарные дроби, полученные в предыдущем примере этого подраздела, можно записать:

Для вычисления первых двух интегралов используем замену        t = x – 1, x = t + 1, dx = dt и получим:

Для вычисления последнего, третьего интеграла воспользуемся полученной выше формулой, подставив в нее следующие числовые значения коэффициентов: А = 1, В = 3, p = 1/2 и q = 1, и получим:

Учитывая числовые коэффициенты перед этими тремя интегралами, окончательно получим:

Определенный интеграл

Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 368; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 8 9 10 11 121314 15 16 17 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!