Экстремум функции - это точка области определения функции, в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение
Нахождение эктремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графиков.
Как следует из опредения в самом начале урока - точки экстремума - объединяющий термин для точек максимума и минимума, а значения функций в этих точках называются экстремумами функции.
Рассмотрим график непрерывной функции. Из рисунка сверху видно, что значение функции в точке 
меньше, чем значения функции в достаточно близких к ней точках, соседних с ней справа и слева. В этом случае говорят, что функция имеет в точке минимум.
В точке 
значение функции больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё. В этом случае говорят, что функция имеет в точке максимум.
А теперь строгие определения точек экстремума.
Функция 
имеет минимум в точке 
, если существует такая окрестность точки , что для всех
из этой окрестности выполняется неравенство
Функция имеет максимум в точке , если существует такая окрестность точки , что для всех
из этой окрестности выполняется неравенство
Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями. На промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке в начале статьи, 
.
|
|
|
Таким образом, не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.
Необходимый признак экстремума
Следующая теорема позволяет ответить на вопрос, в каких точках функция может достигать экстремума. Сразу подчеркнём: может, но не обязательно достигает.
Теорема Ферма (необходимый признак экстремума)
.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке экстремум, то её производная при 
обращается в нуль, т.е.
Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экстремум в тех точках, где производная равна нулю, либо в тех точках области определения, где производная не существует.
|
|
|
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками. Точки, в которых производная функции равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.
Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке 
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство 
означает, что 
, т. е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ox.
Пример 1.Функция 
в точке x=0 достигает минимума, но не дифференцируема при x=0, так как в этой точке график не имеет определённой касательной (рис. сверху).
Пример 2.Функция, изображённая на рисунке сверху, имеет в точке максимум, но не дифференцируема в этой точке, так как при 
касательная к кривой образует с осью Oxугол 
.
Замечание. Условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет.
Пример 3.Функция 
, изображённая на рисунке сверху, имеет производную 
, которая обращается в нуль при x=0, однако в точке x=0 функция экстремума не имеет.
|
|
|
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
Пройти тест по теме Производная, дифференциал и их применение
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 543; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!