Область определения показательной и логарифмической функции



Область определения показательной функции

В случае, когда функция задана формулой , областью определения функции является вся числовая прямая, то есть ]- ∞; + ∞[.

Область определения логарифмической функции

Логарифмическая функция определена при условии, если её аргумент положителен, то есть, областью её определения является множество ]0; + ∞[.

Найти область определения функции самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Найти область определения функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Пример 7. Найти область определения функции .

Посмотреть правильное решение и ответ.

Область определения тригонометрических функций

Область определения функции y = sin(x) - множество R действительных чисел.

Область определения функции y = cos(x) - так же множество R действительных чисел.

Область определения функции y = tg(x) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Область определения функции y = ctg(x) - множество R действительных чисел, кроме чисел .

Пример 8. Найти область определения функции .

Решение. Внешняя функция - десятичный логарифм и на область её определения распространяются условия области определения логарифмической функции вообще. То есть, её аргумент должен быть положительным. Аргумент здесь - синус "икса". Поворачивая воображаемый циркуль по окружности, видим, что условие sin x > 0 нарушается при "иксе" равным нулю, "пи", два, умноженном на "пи" и вообще равным произведению числа "пи" и любого чётного или нечётного целого числа.

Таким образом, область определения данной функции задаётся выражением

,

где k - целое число.

Область определения обратных тригонометрических функций

Область определения функции y = arcsin(x) - множество [-1; 1].

Область определения функции y = arccos(x) - так же множество [-1; 1].

Область определения функции y = arctg(x) - множество R действительных чисел.

Область определения функции y = arcctg(x) - так же множество R действительных чисел.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение. Решим неравенство:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [- 4; 4].

Пример 10. Найти область определения функции .

Решение. Решим два неравенства:

Решение первого неравенства:

Решение второго неравенства:

Таким образом, получаем область определения данной функции - отрезок [0; 1].

Область определения дроби

Если функция задана дробным выражением, в котором переменная находится в знаменателе дроби, то областью определения функции является множество R действительных чисел, кроме таких x, при которых знаменатель дроби обращается в нуль.

Пример 11. Найти область определения функции .

Решение. Решая равенство нулю знаменателя дроби, находим область определения данной функции - множество ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[.

Пример 12. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 13. Найти область определения функции .

Решение. Область определения первого слагаемого - данной функции - множество R действительных чисел, второго слагаемого - все действительные числа, кроме -2 и 2 (получили, решая равенство нулю знаменателя, как в предыдущем примере). В этом случае область определения функции должна удовлетворять условиями определения обоих слагаемых. Следовательно, область определения данной функции - все x, кроме -2 и 2.

Пример 14. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Уравнение не имеет действительных корней. Но функция определена только на действительных числах. Таким образом, получаем область определения данной функции - вся числовая прямая или, что то же самое - множество R действительных чисел или, что то же самое - ]- ∞; + ∞[.

То есть, какое бы число мы не подставляли вместо "икса", знаменатель никогда не будет равен нулю.

Пример 15. Найти область определения функции .

Решение. Решим уравнение:

Таким образом, получаем область определения данной функции - ]- ∞; - 1[ ∪ ]- 1 ; 0[ ∪ ]0 ; 1[ ∪ ]1 ;+ ∞[.

Пример 16. Найти область определения функции .

Решение. Кроме того, что знаменатель не может быть равным нулю, ещё и выражение под корнем не может быть отрицательным. Сначала решим уравнение:

График квадратичной функции под корнем представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Как следует из решения квадратного уравнения, парабола пересекает ось Ox в точках 1 и 2. Между этими точками линия параболы находится ниже оси Ox, следовательно значения квадратичной функции между этими точками отрицательное. Таким образом, исходная функция не определена на отрезке [1; 2].

 

Понятие экстремума функции


Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 1901; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:






Мы поможем в написании ваших работ!